previous arrow
next arrow
Slider

Неравенства с модулем

Если вы научились решать уравнения с модулями – значит, сможете справиться и с неравенствами.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.

2) Имеем в данном случае:

Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].

3) . Имеем:

Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

Ответ:

2. |x2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Это задача №6 теоретической части урока 8 книги В. В. Ткачука «Математика — абитуриенту». Автор решает её методом интервалов. Обязательно разберите авторское решение!

Заметим, что метод интервалов здесь проходит весьма безболезненно по той причине, что корни квадратного трёхчлена под модулем — целые числа. А если дискриминант не будет точным квадратом? Замените, например, под модулем −3 на −5. Объём вычислительной работы тогда существенно возрастёт.

Мы покажем вам другой способ решения этой задачи, не зависящий от капризов дискриминанта.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

В нашей задаче получаем:

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.

Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.

Ответ: (2; 5).