Если вы научились решать уравнения с модулями – значит, сможете справиться и с неравенствами.
1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.
1) x ≥ 4. Имеем:
Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.
2) Имеем в данном случае:
Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].
3) . Имеем:
Так как − , то все значения x из полученного промежутка
служат решениями исходного неравенства.
Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.
Ответ:
2. |x2 − 2x − 3| < 3x − 3.
Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.
• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.
• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе
Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему
В нашей задаче получаем:
Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.
Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.
Ответ: (2; 5).
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Неравенства с модулем» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.06.2023