previous arrow
next arrow
Slider

Неравенства с модулем

Если вы научились решать уравнения с модулями – значит, сможете справиться и с неравенствами.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка [4; +∞) являются решениями нашего неравенства.

2) Имеем в данном случае:

Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество [3; 4].

3) . Имеем:

Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

Ответ:

2. |x2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

• Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

• Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

В нашей задаче получаем:

|x^{2}-2x-3|\textless 3x-3\, \, \Leftrightarrow \, \,\left\{\begin{matrix} x^{2}-2x-3\textless 3x-3\\ x^{2}-2x-3\textgreater -(3x-3)\\ 3x-3\textgreater 0 \end{matrix}\right. ,\, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{matrix} x^{2}-5x\textless 0\\ x^{2}+x-6\textgreater 0\\ x\textgreater 1 \end{matrix}\right. \, \, \Leftrightarrow

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет — решения совокупности; синий цвет — решения последнего неравенства системы.

Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.

Ответ: (2; 5).

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Неравенства с модулем» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.01.2023