Функция \(F(x)\), для которой \(f(x)\) является производной, называется первообразной функции \(y = f(x)\). Функции вида \(y = F(x) + C\) образуют множество первообразных функции \(y = f(x)\).
Сейчас объясним, что это значит.
Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, \(2x\) — производная от функции \(y = x^2\), \(cos x\) — производная функции \(y = sin x\). А чем будет являться \(y = x^2\) для функции \(y = 2x\)? Или \(y = sin x\) — для функции \(y = cos x\)? Вы уже догадались. Первообразной.
Заметим, кстати, что \(y = 2x\) — производная не только функции \(y = x^2\), но и функций \(y = x^2+1\), \(y = x^2+5\) — в общем, всех функций вида \(y = x^2+C.\) Здесь \(C\) — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.
Аналогично, функция \(y = cos x\) — производная для всех функций вида \(y = sin x + C\), где \(C\) — константа.
Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.
Таблица первообразных
| \(f(x)\) (функция) | \(F(x)\) (первообразная) |
| \(0\) | \(C\) (константа) |
| \(1\) | \(x+C\) |
| \(x\) | \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+C\) |
| \(x^{n}, n\neq -1\) | \(\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{x}\) | \(ln\left| x\right|+C\) |
| \(sin x\) | \(-cos x+C\) |
| \(cos x\) | \(sin x+C\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}+C\) |
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.
Первообразная разности функций — разности первообразных.
Первообразная от функции \(y = k f (x)\), где \(k\) — постоянный множитель, равна произведению \(k\) на первообразную функции \(f(x)\), то есть \(k F(x)\).
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции.
Записывается это так: \(\int f(x)dx=F(x)+C.\)
Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.
Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.
Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)
Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции \(y=f(x),\) осью \(X\) и прямыми \(x=a\) и \(x=b\). Пусть функция \(y=f(x)\) неотрицательна на отрезке \([a; b]\).
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
\( S = F (b) - F (a). \)
Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула \( S = F (b) - F (a)\) носит название «Формула Ньютона-Лейбница».
1. Значение первообразной \(F(x)\) функции \(f(x) = 11 x + 5\) в точке \(0\) равно \(6\). Найдите \(F(-3)\).
Решение:
Найдем первообразную функции \(f(x) = 11 x + 5\) с помощью таблицы первообразных. Получим:
\( 11\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+5x+C. \)
При \(x = 0\) получим: \(F(0) = C = 6.\)
Значит, \(C = 6\) и \(F(-3)=11\cdot \displaystyle {{(-3)^2}\over{2}}+5\cdot (-3)+6=40,5.\)
Ответ: 40,5.
2. Значение первообразной \(F(x)\) функции \( f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}\) в точке \(0\) равно \(-13\). Найдите \(F (-1). \)
Решение:
Найдем первообразную функции \(f(0) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}\) с помощью таблицы первообразных. Получим: \(F(x) = {{\rm x}}^{{\rm 9}}+ C. \)
При \(x = 0\) получим: \( F(0) = C = -13.\) Значит, \(C = -13\) и \(F(-1) = {{\rm (-1)}}^{{\rm 9}}+ (-13) = - 14. \)
Ответ: -14.
3. На рисунке изображен график функции \( y=f(x)\). Найдите значение выражения \(F(6)-F(4)\), где \(F(x)\) - одна из первообразных функции \(f(x)\).
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных \(F(b) - F(a)\) — это площадь, ограниченная графиком функции, осью \(X\) и прямыми \(y=a\) и \(y=b\).
В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью \(X\) и прямыми \(y=4\) и \(y=6\). Это квадратик, и площадь его равна \(4\).
Ответ: 4.
4. На рисунке изображён график некоторой функции \(y=f(x)\). Функция \(F(x)=-x^3+7,5x^2-12x+8,5\) — одна из первообразных функции \(f(x)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции \(y =f(x)\) на отрезке \([a; b]\) равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть \( S=F(b)-F(a).\)
В нашей задаче имеем:
\(S=(-4^{3}+7,5\cdot 4^{2}- 12\cdot 4 + 8,5) - (-1^{3}+7,5\cdot 1^{2}- 12 \cdot 1 + 8,5).\)
Дальше — просто арифметика.
\(S = 1^3 - 4^3 + 7,5 \cdot (4^2 - 1) + 12 \cdot(1 - 4) = 1 - 64 + 7,5 \cdot 15 - 12 \cdot 3 = - 63 - 36 + 7,5 \cdot 15 = 13,5.\)
Ответ: 13,5.
