Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, $2x$ — производная от функции $y = x^2$ , $cos x$ — производная функции $y = sin x$ . А чем будет являться $y = x^2$ для функции $y = 2x$ ? Или $y = sin x$ — для функции $y = cos x$ ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что $y = 2x$ — производная не только функции $y = x^2$ , но и функций $y = x^2+1$ , $y = x^2+5$ — в общем, всех функций вида $y = x^2+C.$ Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция $y = cos x$ — производная для всех функций вида $y = sin x + C$ , где $C$ — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции $y = k f (x)$ , где $k$ — постоянный множитель, равна произведению $k$ на первообразную функции $f(x)$ , то есть $k F(x)$ .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $y=f(x)$ , осью $X$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ . Пусть функция $y=f(x)$ неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

$S = F (b) - F (a).$

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула $S = F (b) - F (a)$ носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 11 x + 5$ в точке 0 равно 6. Найдите $F(-3)$ .

Найдем первообразную функции $f(x) = 11 x + 5$ с помощью таблицы первообразных. Получим:

$F(x) = 11 {{x^2}\over {2}} + 5x + C$

При $x = 0$ получим: $F(x) = C = 6.$

Значит, $C = 6$ и $F(-3)=11\cdot {{-3^2}\over{2}}+5\cdot (-3)+6=40,5$

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}$ в точке 0 равно -13. Найдите $F (-1).$

Найдем первообразную функции $f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}$ с помощью таблицы первообразных. Получим: $F(x) = {{\rm x}}^{{\rm 9}}+ C$

При x = 0 получим: $F(x) = C = -13.$ Значит, $C = -13$ и $F(-1) = {{\rm (-1)}}^{{\rm 9}}+ -13 = - 14.$

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ . Найдите значение выражения $F(6)-F(4)$ , где $F(x)$ - одна из первообразных функции $f(x)$ .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных $F(b) - F(a)$ — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью $X$ и прямыми $y=4$ и $y=6$ . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$ . Функция $F(x)=-x^3+7,5x^2-12x+8,5$ — одна из первообразных функции $f(x)$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции $y =f(x)$ на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть $S=F(b)-F(a).$

В нашей задаче имеем:

$S=(-4^{3}+7,5\cdot 4^{2}- 12\cdot 4 + 8,5) - (-1^{3}+7,5\cdot 1^{2}- 12 \cdot 1 + 8,5).$

Дальше — просто арифметика.

$\newline S = 1^3 - 4^3 + 7,5 \cdot (4^2 - 1) + 12 \cdot(1 - 4) = 1 - 64 + 7,5 \cdot 15 - 12 \cdot 3 = \newline = - 63 - 36 + 7,5 \cdot 15 = 13,5.$

Ответ: 13,5.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.