Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).
Сейчас объясним, что это значит.
Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции
,
— производная функции
. А чем будет являться
для функции
? Или
— для функции
? Вы уже догадались. Первообразной.
Заметим, кстати, что — производная не только функции
, но и функций
,
— в общем, всех функций вида
Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.
Аналогично, функция — производная для всех функций вида
, где
— константа.
Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.
Таблица первообразных
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.
Первообразная разности функций — разности первообразных.
Первообразная от функции , где
— постоянный множитель, равна произведению
на первообразную функции
, то есть
.
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:
Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.
Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.
Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)
Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью
и прямыми
и
. Пусть функция
неотрицательна на отрезке [a; b].
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».
1. Значение первообразной функции
в точке 0 равно 6. Найдите
.
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
При получим:
Значит, и
Ответ: 40,5
2. Значение первообразной функции
в точке 0 равно -13. Найдите
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
При x = 0 получим: Значит,
и
Ответ: -14
3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения
, где
- одна из первообразных функции
.
По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.
В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми
и
. Это квадратик, и площадь его равна 4.
Ответ: 4.
4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция
— одна из первообразных функции
. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть
В нашей задаче имеем:
Дальше — просто арифметика.
Ответ: 13,5.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023