Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, $2x$ — производная от функции $y = x^2$ , $cos x$ — производная функции $y = sin x$ . А чем будет являться $y = x^2$ для функции $y = 2x$ ? Или $y = sin x$ — для функции $y = cos x$ ? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что $y = 2x$ — производная не только функции $y = x^2$ , но и функций $y = x^2+1$ , $y = x^2+5$ — в общем, всех функций вида $y = x^2+C.$ Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция $y = cos x$ — производная для всех функций вида $y = sin x + C$ , где $C$ — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции $y = k f (x)$ , где $k$ — постоянный множитель, равна произведению $k$ на первообразную функции $f(x)$ , то есть $k F(x)$ .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $y=f(x)$ , осью $X$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ . Пусть функция $y=f(x)$ неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

$S = F (b) - F (a).$

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула $S = F (b) - F (a)$ носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 11 x + 5$ в точке 0 равно 6. Найдите $F(-3)$ .

Найдем первообразную функции $f(x) = 11 x + 5$ с помощью таблицы первообразных. Получим:

$F(x) = 11 {{x^2}\over {2}} + 5x + C$

При $x = 0$ получим: $F(x) = C = 6.$

Значит, $C = 6$ и $F(-3)=11\cdot {{-3^2}\over{2}}+5\cdot (-3)+6=40,5$

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной $F(x)$ функции $f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}$ в точке 0 равно -13. Найдите $F (-1).$

Найдем первообразную функции $f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}}$ с помощью таблицы первообразных. Получим: $F(x) = {{\rm x}}^{{\rm 9}}+ C$

При x = 0 получим: $F(x) = C = -13.$ Значит, $C = -13$ и $F(-1) = {{\rm (-1)}}^{{\rm 9}}+ -13 = - 14.$

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ . Найдите значение выражения $F(6)-F(4)$ , где $F(x)$ - одна из первообразных функции $f(x)$ .

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных $F(b) - F(a)$ — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью $X$ и прямыми $y=4$ и $y=6$ . Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$ . Функция $F(x)=-x^3+7,5x^2-12x+8,5$ — одна из первообразных функции $f(x)$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции $y =f(x)$ на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть $S=F(b)-F(a).$