previous arrow
next arrow
Slider

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Сейчас объясним, что это значит.

Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, 2x — производная от функции y = x^2, cos x — производная функции y = sin x. А чем будет являться y = x^2 для функции y = 2x? Или y = sin x — для функции y = cos x? Вы уже догадались. Первообразной.

Заметим, кстати, что y = 2x — производная не только функции y = x^2, но и функций y = x^2+1, y = x^2+5 — в общем, всех функций вида y = x^2+C. Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция y = cos x — производная для всех функций вида y = sin x + C, где C — константа.

Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Таблица первообразных

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Первообразная разности функций — разности первообразных.

Первообразная от функции y = k f (x), где k — постоянный множитель, равна произведению k на первообразную функции f(x), то есть k F(x).

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:

\int f(x)dx=F(x)+C

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.

Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница) 

Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью X и прямыми x=a и x=b. Пусть функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a; b].

Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

S = F (b) - F (a).

Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула S = F (b) - F (a) носит название «Формула Ньютона-Лейбница».

1. Значение первообразной F(x) функции f(x) = 11 x + 5 в точке 0 равно 6. Найдите F(-3)

Найдем первообразную функции f(x) = 11 x + 5 с помощью таблицы первообразных. Получим:

F(x) = 11 {{x^2}\over {2}} + 5x + C

При x = 0 получим: F(x) = C = 6.

Значит, C = 6 и F(-3)=11\cdot {{-3^2}\over{2}}+5\cdot (-3)+6=40,5

Ответ: 40,5

2. Значение первообразной F(x) функции f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}} в точке 0 равно -13. Найдите F (-1).

Найдем первообразную функции f(x) = 9{{\rm x}}^{{\rm 8}} с помощью таблицы первообразных. Получим: F(x) = {{\rm x}}^{{\rm 9}}+ C

При x = 0 получим: F(x) = C = -13. Значит, C = -13 и F(-1) = {{\rm (-1)}}^{{\rm 9}}+ -13 = - 14.

Ответ: -14

3. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите значение выражения F(6)-F(4), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).

По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных F(b) - F(a) — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.

В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью X и прямыми y=4 и y=6. Это квадратик, и площадь его равна 4.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+7,5x^2-12x+8,5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции y =f(x) на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть S=F(b)-F(a).

В нашей задаче имеем:

S=(-4^{3}+7,5\cdot 4^{2}- 12\cdot 4 + 8,5) - (-1^{3}+7,5\cdot 1^{2}- 12 \cdot 1 + 8,5).

Дальше — просто арифметика.

\newline S = 1^3 - 4^3 + 7,5 \cdot (4^2 - 1) + 12 \cdot(1 - 4) = 1 - 64 + 7,5 \cdot 15 - 12 \cdot 3 = \newline = - 63 - 36 + 7,5 \cdot 15 = 13,5.

Ответ: 13,5.