Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).
Сейчас объясним, что это значит.
Вспомним таблицу производных. В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, — производная от функции
,
— производная функции
. А чем будет являться
для функции
? Или
— для функции
? Вы уже догадались. Первообразной.
Заметим, кстати, что — производная не только функции
, но и функций
,
— в общем, всех функций вида
Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.
Аналогично, функция — производная для всех функций вида
, где
— константа.
Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.
Таблица первообразных
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.
Первообразная разности функций — разности первообразных.
Первообразная от функции , где
— постоянный множитель, равна произведению
на первообразную функции
, то есть
.
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:
Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.
Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.
Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)
Пусть в прямоугольной системе координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , осью
и прямыми
и
. Пусть функция
неотрицательна на отрезке [a; b].
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».
1. Значение первообразной функции
в точке 0 равно 6. Найдите
.
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
При получим:
Значит, и
Ответ: 40,5
2. Значение первообразной функции
в точке 0 равно -13. Найдите
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
При x = 0 получим: Значит,
и
Ответ: -14
3. На рисунке изображен график функции . Найдите значение выражения
, где
- одна из первообразных функции
.
По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.
В этой задаче нужная фигура ограничена графиком функции, осью и прямыми
и
. Это квадратик, и площадь его равна 4.
Ответ: 4.
4. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция
— одна из первообразных функции
. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть
В нашей задаче имеем:
Дальше — просто арифметика.
Ответ: 13,5.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
СмотретьДля нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.
Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.
Вы получите:
— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.
Регистрируйтесь, это бесплатно!
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных