Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Таблица производных и правила дифференцирования

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции $y=e^{x}$ равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции $y=e^{x}$ … и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке $x_{0}$ обратно пропорциональна $x_{0}$ . Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная ${f}$ положительна, то функция $f(x)$ возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

$f(x)$	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
${f}$	+	0	-	0	+

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции $\displaystyle y=-\frac{x^{2}+25}{x}.$

Решение:

Область определения функции: $x\in (-\infty; 0)\cup (0;+\infty ).$

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

$\displaystyle {y}$

${y}$ если $x=\pm 5.$

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции $y=e^{x+10}(8x-3).$

Решение:

Применим формулу производной произведения.

${y}$

Приравняем производную к нулю:

${y}$ , если $8x+5=0,$ $\displaystyle x=\frac{-5}{8}=-0,625.$

Если $x\textless -0,625,$ то ${y}$ функция убывает.

Если $x\textgreater -0,625,$ то ${y}$ функция возрастает, значит, $x=-0,625$ – точка минимума функции $y(x).$

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: -0,625.

Задача 3. Найдите значение функции $f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$ в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: $f$

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: $f$

$3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0\Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x-3)\cdot 4\cdot (x-1)\cdot (x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=3\\x=1\\x=-1\\\end{array}\right. .$

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

$x=1$ – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: $f(1)=1-4-2+12+9=16.$

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

Находим производную функции.
Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка максимума функции.
Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка минимума функции.
Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции $y=2\sqrt{2}(sinx+cosx)$ на отрезке $[0;\pi ].$

Решение:

$y=2\sqrt{2}(sinx+cosx), x\in [0;\pi ].$

Найдем производную: $y$

Приравняем производную к нулю:

$\displaystyle 2\sqrt{2}(cosx-sinx)=0\Leftrightarrow cosx=sinx\Leftrightarrow tgx=1\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$

Если $x\in [0;\pi ],$ то $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}.$

Так как $y$

Точка $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$ – точка максимума функции $\displaystyle y(x); y_{max}(x)=y\left (\frac{\pi }{4}\right )=4.$

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции $y=(x-21)e^{x-20}$ на отрезке $[19; 21].$

Решение:

Найдем производную функции:

$y$

$y$ при $x=20.$

Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=20.$

Если $x\textless 20,$ то ${y}$

Если $x\textgreater 20$ то ${y}$

Значит, $x=20$ – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается при $x=20.$

Это значение равно $y(20)=-1.$

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции $y=3x^{2}-13x+7ln+5$ на отрезке $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].$

Решение:

Область определения функции: $x\textgreater 0.$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle y$

$\displaystyle =\frac{6(x-1)\left ( x-\frac{7}{6} \right )}{x}.$

$y$ если $6x^{2}-13x+7=0.$

$D=169-168=1; x=1$ или $\displaystyle x=\frac{7}{6}.$ Второй корень не принадлежит отрезку $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].$

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке $x=1$ производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и наибольшее значение функции на отрезке $\displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ]$ достигается при $x=1.$

Найдем значение функции при $x=1:$

$y(1)=3-13+7ln1+5=-5.$

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции $y=3cosx-\pi x+\pi ^{2}$ на отрезке $[-2\pi ; \pi ].$

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

$y$

$\displaystyle y$

У этого уравнения нет решений, так как $\displaystyle-\frac{\pi }{3}\textless -1.$

Это значит, что $y$ при любых $x,$ то есть $y$ а это означает, что $y(x)$ – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка $[-2\pi ; \pi ].$

$y_{min}=y(\pi )=-3.$

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции $y=7x-6sinx+8$ на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 0 \right ].$

Решение:

Найдем производную функции: $y$

$\displaystyle y$ Производная функции не равна нулю ни при каком $x$ .

Мы знаем, что $-1\leq cosx\leq 1.$ Тогда $-6\leq -6cosx\leq 6.$

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$1\leq 7-6cosx\leq 13\Rightarrow y$ для всех $x.$

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при $x=0.$

$y_{naim}=y(0)=7\cdot 0-6sin0+8=8.$

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции $\displaystyle y=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot x-4\sqrt{3}\cdot cosx$ на отрезке $\displaystyle\left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle y$
$=2\sqrt{3}(2sinx-1).$

$y$ тогда $\displaystyle sinx=\frac{1}{2}.$

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение $\displaystyle x=\frac{\pi }{6}.$

Слева от этой точки Если $2sinx-1\textless 0,$ производная отрицательна.

Справа от этой точки $2sinx-1\textgreater 0,$ производная положительна.

Значит, $\displaystyle x=\frac{\pi }{6}$ – точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

$\displaystyle y\left ( \frac{\pi }{6} \right )=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{6}-4\sqrt{3}\cdot cos\frac{\pi }{6}=$

$\displaystyle =13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7.$

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

Решение:

Рассмотрим функцию $y=log_{2}t.$

Так как функция $y=log_{2}t$ монотонно возрастает, точка минимума функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5)$ будет при том же значении $x$ , что и точка минимума функции $t(x)=x^{2}+x+0,5.$ А ее найти легко:

$t$

$t$ при $\displaystyle x=-\frac{1}{2}.$

В точке $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ производная $t$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ – единственная точка минимума функции $t(x)$ и функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

$\displaystyle y_{min}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=log_{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+0,5 \right )=log_{2}\frac{1}{4}=-2.$

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке $[-0,5; 6].$

Решение:

$y=\sqrt{x^{2}-4x+13}, x\in [-0,5; 6].$

Так как функция $y=\sqrt{t}$ монотонно возрастает при $t\geq 0,$ точка минимума функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ соответствует точке минимума подкоренного выражения $t(x)={x^{2}-4x+13}.$

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция $t(x)={x^{2}-4x+13}.$ задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при $\displaystyle x=\frac{4}{2}=2.$

Если $x\in [-0,5; 2], y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно убывает.

Если $x\in [2; 6], y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции $y=\sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке $[-0,5; 6]$ достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним $y=(-0,5)$ и $y=(6):$

$y(-0,5)=\sqrt{0,25+13-2}=\sqrt{11,25}.$

$y(6)=\sqrt{25}=5.$

$y(-0,5)\textless y(6).$

$y_{max}=6.$

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.$

Решение:

Рассмотрим функцию $t(x)=2+2x-x^{2}.$

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при $x=1.$ Функция $y(t)=log_{2}t$ монотонно возрастает, и значит, большему значению $t$ будет соответствовать большее значение $y(t).$

Точка максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2$ будет такой же, как у функции $t(x)=2+2x-x^{2},$ то есть $x=1.$

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Таблица производных и правила дифференцирования

Это полезно