Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции y=e^{x} равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции y=e^{x}… и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке x_{0} обратно пропорциональна x_{0}. Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная {f}  положительна, то функция  f(x) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

f(x) возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
{f} + 0 - 0 +

 

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции \displaystyle y=-\frac{x^{2}+25}{x}.

Решение:

Область определения функции: x\in (-\infty; 0)\cup (0;+\infty ).

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

\displaystyle {y}

{y} если x=\pm 5.

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции  y=e^{x+10}(8x-3).

Решение:

Применим формулу производной произведения.

{y}

Приравняем производную к нулю:

{y}, если 8x-5=0, \displaystyle x=\frac{5}{8}=0,625.

Если  x\textless 0,625, то {y}  функция убывает.

Если x\textgreater 0,625, то {y} функция возрастает, значит,  x=0,625 – точка минимума функции y(x).

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9 в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции: f

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение: f

3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0\Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0\Leftrightarrow
\Leftrightarrow (x-3)\cdot 4\cdot (x-1)\cdot (x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=3\\x=1\\x=-1\\\end{array}\right. .

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

x=1 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке: f(1)=1-4-2+12+9=16.

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

  1. Находим производную функции.
  2. Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
  3. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке x_{0}, то x_{0} – точка максимума функции.
  4. Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке x_{0}, то x_{0} – точка минимума функции.
  5. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
    Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции y=2\sqrt{2}(sinx+cosx) на отрезке [0;\pi ].

Решение:

y=2\sqrt{2}(sinx+cosx), x\in [0;\pi ].

Найдем производную: y

Приравняем производную к нулю:

\displaystyle 2\sqrt{2}(cosx-sinx)=0\Leftrightarrow cosx=sinx\Leftrightarrow tgx=1\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.

Если x\in [0;\pi ], то \displaystyle x=\frac{\pi }{4}.

Так как y

Точка \displaystyle x=\frac{\pi }{4} – точка максимума функции \displaystyle y(x); y_{max}(x)=y\left (\frac{\pi }{4}\right )=4.

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции y=(x-21)e^{x-20} на отрезке [19; 21].

Решение:

Найдем производную функции:

y

y при x=20.

Найдем знаки производной слева и справа от точки x=20.

Если  x\textless 20, то {y}

Если x\textgreater 20 то {y}

Значит, x=20 – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке  достигается при x=20.

Это значение равно y(20)=-1.

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции y=3x^{2}-13x+7ln+5 на отрезке \displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].

Решение:

Область  определения  функции: x\textgreater 0.

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\displaystyle y

\displaystyle =\frac{6(x-1)\left ( x-\frac{7}{6} \right )}{x}.

y если 6x^{2}-13x+7=0.

D=169-168=1; x=1 или \displaystyle x=\frac{7}{6}. Второй корень не принадлежит отрезку \displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ].

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке x=1 производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и  наибольшее значение функции на отрезке \displaystyle \left [ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right ] достигается при  x=1.

Найдем значение функции  при x=1:

y(1)=3-13+7ln1+5=-5.

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции y=3cosx-\pi x+\pi ^{2} на отрезке [-2\pi ; \pi ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

\displaystyle y

У этого уравнения нет решений, так как \displaystyle-\frac{\pi }{3}\textless -1.

Это значит, что y при любых x, то есть y а это означает, что y(x) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка [-2\pi ; \pi ].

y_{min}=y(\pi )=-3.

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции y=7x-6sinx+8 на отрезке \displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 0 \right ].

Решение:

Найдем производную функции: y

\displaystyle y Производная функции не равна нулю ни при каком x.

Мы знаем, что -1\leq cosx\leq 1. Тогда -6\leq -6cosx\leq 6.

Прибавим  7 ко всем частям неравенства:

1\leq 7-6cosx\leq 13\Rightarrow y для всех x.

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при x=0.

y_{naim}=y(0)=7\cdot 0-6sin0+8=8.

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции \displaystyle y=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot x-4\sqrt{3}\cdot cosx на отрезке \displaystyle\left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\displaystyle y
=2\sqrt{3}(2sinx-1).

y тогда \displaystyle sinx=\frac{1}{2}.

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение \displaystyle x=\frac{\pi }{6}.

Слева от этой точки Если  2sinx-1\textless 0, производная отрицательна.

Справа от этой точки 2sinx-1\textgreater 0, производная положительна.

Значит, \displaystyle x=\frac{\pi }{6} – точка минимума функции,  и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

\displaystyle y\left ( \frac{\pi }{6} \right )=13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{6}-4\sqrt{3}\cdot cos\frac{\pi }{6}=

\displaystyle =13+\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}\pi }{3}-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7.

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

Решение:

Рассмотрим функцию y=log_{2}t.

Так как функция y=log_{2}t монотонно возрастает, точка  минимума функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5) будет при том же значении  x, что и точка минимума функции t(x)=x^{2}+x+0,5. А ее найти легко:

t

t при \displaystyle x=-\frac{1}{2}.

В точке \displaystyle x=-\frac{1}{2} производная t меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, \displaystyle x=-\frac{1}{2} – единственная точка минимума функции t(x) и функции y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).

\displaystyle y_{min}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=log_{2}\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+0,5 \right )=log_{2}\frac{1}{4}=-2.

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции  y=\sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6].

Решение:

y=\sqrt{x^{2}-4x+13}, x\in [-0,5; 6].

Так как функция y=\sqrt{t} монотонно возрастает при t\geq 0, точка минимума функции y=\sqrt{x^{2}-4x+13} соответствует точке минимума подкоренного выражения t(x)={x^{2}-4x+13}.

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция t(x)={x^{2}-4x+13}. задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при \displaystyle x=\frac{4}{2}=2.

Если x\in [-0,5; 2], y=\sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно убывает.

Если x\in [2; 6], y=\sqrt{x^{2}-4x+13} – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции y=\sqrt{x^{2}-4x+13} на отрезке [-0,5; 6] достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним y=(-0,5) и y=(6):

y(-0,5)=\sqrt{0,25+13-2}=\sqrt{11,25}.

y(6)=\sqrt{25}=5.

y(-0,5)\textless y(6).

y_{max}=6.

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.

Решение:

Рассмотрим функцию t(x)=2+2x-x^{2}.

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при x=1. Функция y(t)=log_{2}t монотонно возрастает, и значит, большему значению t будет соответствовать большее значение y(t).

Точка максимума функции y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2 будет такой же, как у функции t(x)=2+2x-x^{2}, то есть x=1.

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

 

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.02.2023

Поделиться страницей

Это полезно

Теория вероятностей на ЕГЭ-2023 по математике
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Математика 100 баллов
Неравенства. 14 задание ЕГЭ
Ященко и реальный ЕГЭ