Slider

Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2+2x-3}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  ax^2+bx+c.

ax^2+bx+c=a\left( x-x_1 \right)\left( x-x_2 \right), где x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

Получим:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0

Рисуем ось X и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя -5 и 7 - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя -3 и 1 - закрашены, так как неравенство нестрогое. При x=-3 и x=1 наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось X на 5 промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
1) x<-5. Возьмем, например, x=-10 и проверим знак выражения \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак \left( + \right).

2) Следующий промежуток: -5<x<-3. Проверим знак при x=-4. Получаем, что левая часть поменяла знак на \left( - \right).

3) -3<x<1. Возьмем x=0. При x=0 выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от -3 до 1.

4) При 1<x<7 левая часть неравенства отрицательна. 

5) И, наконец, x>7. Подставим x=10 и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак \left( + \right).

Мы нашли, на каких промежутках выражение \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: \left( -\infty ;-5 \right)\cup \left[ -3 ;1 \right]\cup \left( 7 ;+ \infty \right).

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \geqslant 0, или \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} > 0, или \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \leqslant 0, или \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} < 0.

(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).

Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}>0

Снова расставляем точки на оси X. Точки 1 и 3 - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка 2 - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При x<1 числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, x=0. Левая часть имеет знак \left( + \right):

При 1<x<2 числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак \left( - \right):

При 2<x<3 ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак \left( - \right):

Наконец, при x>3 все множители положительны, и левая часть имеет знак \left( + \right):

Ответ: \left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3 ;+ \infty \right).

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку 2 "ответственный" за неё множитель \left( x-2 \right)^2 не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель (x-c) стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку x=c знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)} \geqslant 0

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение x=2 Это происходит потому, что при x=2 и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.

Ответ: \left( -\infty ;1 \right)\cup \{2\} \cup \left( 3 ;+ \infty \right).

В задаче C3 на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x+2 \right)\left( x^2-4x+7 \right)}{\displaystyle x-5}<0

Квадратный трехчлен x^2-4x+7 на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения x^2-4x+7 при всех x одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину x^2-4x+7, положительную при всех x. Придём к равносильному неравенству:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x+2}{\displaystyle x-5}<0

- которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}<1

Так и хочется умножить его на x. Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь x может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}-1<0

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2-x}{\displaystyle x}<0

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0

И после этого - применим метод интервалов.


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ЛЕТНИЕ КУРСЫ ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.