Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2+2x-3}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0$

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида $ax^2+bx+c$ .

$ax^2+bx+c=a\left( x-x_1 \right)\left( x-x_2 \right)$ , где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ .

Получим:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0$

Рисуем ось $X$ и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя $-5$ и $7$ - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя $-3$ и $1$ - закрашены, так как неравенство нестрогое. При $x=-3$ и $x=1$ наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось $X$ на $5$ промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным - либо "плюс", либо "минус".

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
$1)$ $x<-5$ . Возьмем, например, $x=-10$ и проверим знак выражения $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)}$ в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак $\left( + \right)$ .

$2)$ Следующий промежуток: $-5<x<-3$ . Проверим знак при $x=-4$ . Получаем, что левая часть поменяла знак на $\left( - \right)$ .

$3)$ $-3<x<1$ . Возьмем $x=0$ . При $x=0$ выражение положительно - следовательно, оно положительно на всем промежутке от $-3$ до $1$ .

$4)$ При $1<x<7$ левая часть неравенства отрицательна.

$5)$ И, наконец, $x>7$ . Подставим $x=10$ и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак $\left( + \right)$ .

Мы нашли, на каких промежутках выражение $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)}$ положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: $\left( -\infty ;-5 \right)\cup \left[ -3 ;1 \right]\cup \left( 7 ;+ \infty \right)$ .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \geqslant 0$ , или $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} > 0$ , или $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \leqslant 0$ , или $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} < 0$ .

(в левой части - дробно-рациональная функция, в правой - нуль).

Затем - отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)}$ в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого - записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}>0$

Снова расставляем точки на оси $X$ . Точки $1$ и $3$ - выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка $2$ - тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При $x<1$ числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, $x=0$ . Левая часть имеет знак $\left( + \right)$ :

При $1<x<2$ числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак $\left( - \right)$ :

При $2<x<3$ ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак $\left( - \right)$ :

Наконец, при $x>3$ все множители положительны, и левая часть имеет знак $\left( + \right)$ :

Ответ: $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3 ;+ \infty \right)$ .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку $2$ "ответственный" за неё множитель $\left( x-2 \right)^2$ не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель $(x-c)$ стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку $x=c$ знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)} \geqslant 0$

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение $x=2$ Это происходит потому, что при $x=2$ и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.

Ответ: $\left( -\infty ;1 \right)\cup \{2\} \cup \left( 3 ;+ \infty \right)$ .

В задаче $C3$ на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x+2 \right)\left( x^2-4x+7 \right)}{\displaystyle x-5}<0$

Квадратный трехчлен $x^2-4x+7$ на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения $x^2-4x+7$ при всех $x$ одинаков, а конкретно - положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину $x^2-4x+7$ , положительную при всех $x$ . Придём к равносильному неравенству:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x+2}{\displaystyle x-5}<0$

- которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание - мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}<1$

Так и хочется умножить его на $x$ . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину - знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}-1<0$