Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции $y=f\left( x \right)$ . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

область определения функции
область значений функции
нули функции
промежутки возрастания и убывания
точки максимума и минимума
наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

График функции

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось $X$ .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось $Y$ .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается $x$ .
Другими словами, мы сами выбираем $x$ , подставляем в формулу функции и получаем $y$ .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента $x$ , при которых функция существует.
Обозначается: $D\left( f \right)$ или $D\left ( y \right )$ .

На нашем рисунке область определения функции $y=f\left( x \right)$ — это отрезок $\left[ -6; 6 \right]$ . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная $y$ . На нашем рисунке это отрезок $\left[ -3; 7 \right]$ — от самого нижнего до самого верхнего значения $y$ .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть $y=0$ . На нашем рисунке это точки $x=-4$ и $x=1$ .

Значения функции положительны там, где $y>0$ . На нашем рисунке это промежутки $\left[ -6; -4 \right]$ и $\left[ 1; 6 \right]$ .
Значения функции отрицательны там, где $y<0$ . У нас это промежуток (или интервал) от $-4$ до $1$ .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве $M$ . В качестве множества $M$ можно взять отрезок $\left[ a; b \right]$ , интервал $\left( a; b \right)$ , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция $y=f\left( x \right)$ возрастает на множестве $M$ , если для любых $x_1$ и $x_2$ , принадлежащих множеству $M$ , из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $f\left( x_2 \right) > f\left( x_1 \right)$ .

Иными словами, чем больше $x$ , тем больше $y$ , то есть график идет вправо и вверх.

Функция $y=f\left( x \right)$ убывает на множестве $M$ , если для любых $x_1$ и $x_2$ , принадлежащих множеству $M$ , из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $f\left( x_2 \right) < f\left( x_1 \right)$ .

Для убывающей функции большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$ . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция $f\left( x \right)$ возрастает на промежутке $\left[ -2; 4 \right]$ и убывает на промежутках $\left[ -6; -2 \right]$ и $\left[ 4; 6 \right]$ .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке $x=4$ — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке $x= -2$ — точка минимума.

Точка $x= -6$ — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и $x=6$ на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это $x=4$ и $x= -2$ .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции $y=f\left ( x \right )$ на отрезке $\left[ -4; 0 \right]$ ? В данном случае ответ: $y= -3$ . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен $4$ . Он достигается в точке $x=4$ .

Можно сказать, что экстремумы функции равны $4$ и $-3$ .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке $\left[ -6; 6 \right]$ равно $-3$ и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно $7$ . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.