Slider

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции y=f\left( x \right). Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции
  • область значений функции
  • нули функции
  • промежутки возрастания и убывания
  • точки максимума и минимума
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

График функции

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D\left( f \right) или D\left ( y \right ).

На нашем рисунке область определения функции y=f\left( x \right) — это отрезок \left[ -6; 6 \right]. Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная y. На нашем рисунке это отрезок \left[ -3; 7 \right] — от самого нижнего до самого верхнего значения y.

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть y=0. На нашем рисунке это точки x=-4 и x=1.

Значения функции положительны там, где y>0. На нашем рисунке это промежутки \left[ -6; -4 \right] и \left[ 1; 6 \right].
Значения функции отрицательны там, где y<0. У нас это промежуток (или интервал) от -4 до 1.

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве M. В качестве множества M можно взять отрезок \left[ a; b \right], интервал \left( a; b \right), объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция y=f\left( x \right) возрастает на множестве M, если для любых x_1 и x_2, принадлежащих множеству M, из неравенства x_2 > x_1 следует неравенство f\left( x_2 \right) > f\left( x_1 \right).

Иными словами, чем больше x, тем больше y, то есть график идет вправо и вверх.

Функция y=f\left( x \right) убывает на множестве M, если для любых x_1 и x_2, принадлежащих множеству M, из неравенства x_2 > x_1 следует неравенство f\left( x_2 \right) < f\left( x_1 \right).

Для убывающей функции большему значению x соответствует меньшее значение y. График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция f\left( x \right) возрастает на промежутке \left[ -2; 4 \right] и убывает на промежутках \left[ -6; -2 \right] и \left[ 4; 6 \right].

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке x=4 — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке x= -2 — точка минимума.

Точка x= -6 — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и x=6 на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это x=4 и x= -2.

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции y=f\left ( x \right ) на отрезке \left[ -4; 0 \right]? В данном случае ответ: y= -3. Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен 4. Он достигается в точке x=4.

Можно сказать, что экстремумы функции равны 4 и -3.

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке \left[ -6; 6 \right] равно -3 и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно 7. Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.