previous arrow
next arrow
Slider

Профильный ЕГЭ по математике, задание 19. Секреты решения

Говорят, что задание 19 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 19.

Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.

4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 5 дней?

б) Могло ли это произойти за 9 дней?

в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?

Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.

На второй день: Маша x+1, а Наташа y+1 фотографию.

В n-ный день Маша сделает x+n-1, а Наташа y+n-1 фотографию.

По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+\left ( n-1 \right )d}{2}\cdot n

За n дней Маша сделает \frac{2x+n-1}{2}\cdot n, а Наташа \frac{2y+n-1}{2}\cdot n фотографий. Разность этих величин \frac{2y+n-1}{2}\cdot n-\frac{2x+n-1}{2}\cdot n=\left ( y-x \right )n=935

Мы получили, что \left ( y-x \right )n=935.

а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то y-x=935:5=187. Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.

б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение 9\left (y-x \right )=935 не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.

Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.

в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.

Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:

x+n\leq 49.

Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.

У нас есть единственное уравнение:
\left ( y-x \right )n=935. Поскольку y-x – целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.

Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.

При этом n\geq 55 невозможно, поскольку по условию x+n\leq 49.

Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.

\boldsymbol{n} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y-x=\frac{935}{n}} \boldsymbol{y=\frac{935}{n}+x} Количество фотографий,сделанных Наташей за \boldsymbol{n} дней:
\boldsymbol{S=\frac{2y+n-1}{2}\cdot n}
1 \boldsymbol{x\leq 49} 935 \boldsymbol{y\leq 984} \boldsymbol{S\leq 984}
5 \boldsymbol{x\leq 45} 187 \boldsymbol{y\leq 232} \boldsymbol{S\leq 1170}
11 \boldsymbol{x\leq 39} 85 \boldsymbol{y\leq 124} \boldsymbol{S\leq 1419}
17 \boldsymbol{x\leq 33} 55 \boldsymbol{y\leq 88} \boldsymbol{S\leq 1632}

 

Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если n=17,\;x=33,\;y=88, то S=1632.

Ответ: 1632.

Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.

Получили уравнение \left ( y-x \right )n=935. Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.

Вот еще одна задача на числа и их свойства:

2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?

Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.

Тип автобуса Сколько автобусов Сколько рейсов Сколько человек в автобусе
\boldsymbol{A} \boldsymbol{2} \boldsymbol{n} \boldsymbol{m+7}
\boldsymbol{B} \boldsymbol{3} \boldsymbol{n-1} \boldsymbol{m}

 

По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.

Оно равно 3\left ( n-1 \right )m=2n\left ( m+7 \right ). Отсюда 3mn-3m=2nm+14n.
Выразим одну из переменных через другую: m=\frac{14n}{n-3}
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби \frac{14n}{n-3} целую часть.

Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.

m=\frac{14n}{n-3}=\frac{14\left ( n-3 \right )+42}{n-3}=14+\frac{42}{n-3} .

Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на n-3 без остатка.

Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.

Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле m=14+\frac{42}{n-3}, а общее количество школьников – как 3\left ( n-1 \right )m.

\boldsymbol{n-3} \boldsymbol{n} \boldsymbol{m} Общее количество школьников
1 4 56 504
2 5 35 420
3 6 28 420
6 9 21 504
7 10 20 540
14 17 17 816
21 24 16 1104
42 45 15 1980

 

Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.

Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.

Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.