Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения

Говорят, что задание 18 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 18.

Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.

4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 5 дней?

б) Могло ли это произойти за 9 дней?

в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?

Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.

На второй день: Маша $x+1$ , а Наташа $y+1$ фотографию.

В n-ный день Маша сделает $x+n-1$ , а Наташа $y+n-1$ фотографию.

По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:

$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+\left ( n-1 \right )d}{2}\cdot n$

За n дней Маша сделает $\frac{2x+n-1}{2}\cdot n$ , а Наташа $\frac{2y+n-1}{2}\cdot n$ фотографий. Разность этих величин $\frac{2y+n-1}{2}\cdot n-\frac{2x+n-1}{2}\cdot n=\left ( y-x \right )n=935$

Мы получили, что $\left ( y-x \right )n=935$ .

а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то $y-x=935:5=187$ . Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.

б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение $9\left (y-x \right )=935$ не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.

Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.

в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.

Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:

$x+n\leq 49$ .

Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.

У нас есть единственное уравнение:
$\left ( y-x \right )n=935$ . Поскольку $y-x$ – целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.

Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.

При этом $n\geq 55$ невозможно, поскольку по условию $x+n\leq 49$ .

Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.

$\boldsymbol{n}$	$\boldsymbol{x}$	$\boldsymbol{y-x=\frac{935}{n}}$	$\boldsymbol{y=\frac{935}{n}+x}$	Количество фотографий,сделанных Наташей за $\boldsymbol{n}$ дней: $\boldsymbol{S=\frac{2y+n-1}{2}\cdot n}$
1	$\boldsymbol{x\leq 49}$	935	$\boldsymbol{y\leq 984}$	$\boldsymbol{S\leq 984}$
5	$\boldsymbol{x\leq 45}$	187	$\boldsymbol{y\leq 232}$	$\boldsymbol{S\leq 1170}$
11	$\boldsymbol{x\leq 39}$	85	$\boldsymbol{y\leq 124}$	$\boldsymbol{S\leq 1419}$
17	$\boldsymbol{x\leq 33}$	55	$\boldsymbol{y\leq 88}$	$\boldsymbol{S\leq 1632}$

Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если $n=17,\;x=33,\;y=88$ , то $S=1632$ .

Ответ: 1632.

Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.

Получили уравнение $\left ( y-x \right )n=935$ . Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.

Вот еще одна задача на числа и их свойства:

2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?

Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.

Тип автобуса	Сколько автобусов	Сколько рейсов	Сколько человек в автобусе
$\boldsymbol{A}$	$\boldsymbol{2}$	$\boldsymbol{n}$	$\boldsymbol{m+7}$
$\boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{3}$	$\boldsymbol{n-1}$	$\boldsymbol{m}$

По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.

Оно равно $3\left ( n-1 \right )m=2n\left ( m+7 \right )$ . Отсюда $3mn-3m=2nm+14n$ .
Выразим одну из переменных через другую: $m=\frac{14n}{n-3}$
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби $\frac{14n}{n-3}$ целую часть.

Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.

$m=\frac{14n}{n-3}=\frac{14\left ( n-3 \right )+42}{n-3}=14+\frac{42}{n-3}$ .

Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на $n-3$ без остатка.

Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.

Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле $m=14+\frac{42}{n-3}$ , а общее количество школьников – как $3\left ( n-1 \right )m$ .

$\boldsymbol{n-3}$	$\boldsymbol{n}$	$\boldsymbol{m}$	Общее количество школьников
1	4	56	504
2	5	35	420
3	6	28	420
6	9	21	504
7	10	20	540
14	17	17	816
21	24	16	1104
42	45	15	1980

Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.

Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.

Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 06.06.2023

Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения

Это полезно