Говорят, что задание 18 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 18.
Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.
4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 5 дней?
б) Могло ли это произойти за 9 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?
Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.
На второй день: Маша , а Наташа
фотографию.
В n-ный день Маша сделает , а Наташа
фотографию.
По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:
За n дней Маша сделает , а Наташа
фотографий. Разность этих величин
Мы получили, что .
а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то . Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.
б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.
Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.
в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.
Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:
.
Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.
У нас есть единственное уравнение:
. Поскольку
– целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.
Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.
При этом невозможно, поскольку по условию
.
Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.
Количество фотографий,сделанных Наташей за |
||||
---|---|---|---|---|
1 | 935 | |||
5 | 187 | |||
11 | 85 | |||
17 | 55 |
Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если , то
.
Ответ: 1632.
Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.
Получили уравнение . Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.
Вот еще одна задача на числа и их свойства:
2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?
Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.
Тип автобуса | Сколько автобусов | Сколько рейсов | Сколько человек в автобусе |
---|---|---|---|
По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.
Оно равно . Отсюда
.
Выразим одну из переменных через другую:
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби целую часть.
Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.
.
Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на без остатка.
Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.
Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле , а общее количество школьников – как
.
Общее количество школьников | |||
---|---|---|---|
1 | 4 | 56 | 504 |
2 | 5 | 35 | 420 |
3 | 6 | 28 | 420 |
6 | 9 | 21 | 504 |
7 | 10 | 20 | 540 |
14 | 17 | 17 | 816 |
21 | 24 | 16 | 1104 |
42 | 45 | 15 | 1980 |
Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.
Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.
Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике, задание 18. Секреты решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023