Slider

Профильный ЕГЭ по математике, задание 19. Секреты решения

Говорят, что задание 19 Профильного ЕГЭ по математике (на числа и их свойства) решить невозможно. Но это не так. Можно научиться! Можно сделать первый шаг – прочитать эту статью и узнать о секретах решения задачи 19.

Еще говорят, что это задача «на смекалку». Но и это не так. Дело не в загадочной «смекалке», а в знании определенных приемов, ключиков, хитрых инструментов. Некоторые из них вы сейчас увидите. Пусть это будет первое знакомство с нестандартными, ни на что не похожими задачами на числа и их свойства.

4. Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 935 фотографий больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 5 дней?

б) Могло ли это произойти за 9 дней?

в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 50 фотографий?

Пусть в первый день Маша делает х фотографий, а Наташа у фотографий.

На второй день: Маша x+1, а Наташа y+1 фотографию.

В n-ный день Маша сделает x+n-1, а Наташа y+n-1 фотографию.

По условию, число фотографий, которые ежедневно делает Маша, образует арифметическую прогрессию с разностью 1. Число Наташиных фотографий также образует арифметическую прогрессию. Вспомним формулу суммы арифметической прогрессии:

S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\cdot n=\frac{2a_{1}+\left ( n-1 \right )d}{2}\cdot n

За n дней Маша сделает \frac{2x+n-1}{2}\cdot n, а Наташа \frac{2y+n-1}{2}\cdot n фотографий. Разность этих величин \frac{2y+n-1}{2}\cdot n-\frac{2x+n-1}{2}\cdot n=\left ( y-x \right )n=935

Мы получили, что \left ( y-x \right )n=935.

а) Случай n = 5 возможен. Это значит, что то y-x=935:5=187. Каждый день Наташа делала на 187 фотографий больше, чем Маша.

б) Случай n = 9 невозможен. Уравнение 9\left (y-x \right )=935 не имеет целых решений, поскольку 935 не делится на 9.

Это один из приемов решения нестандартных задач. Часто мы получаем уравнение с двумя (тремя, четырьмя…) переменными. Помогает то, что эти переменные – натуральные. Мы внимательно смотрим на полученное уравнение. Если его левая часть положительна, то и правая должна быть положительна. Если левая четна, то и правая должна быть четна. Если левая часть кратна 9, то и правая часть должна быть кратна 9.

в) В последний день Маша сделала меньше 50 фотографий.

Еще один лайфхак. В задачах на числа и их свойства строгие неравенства лучше заменять нестрогими:

x+n\leq 49.

Найдем, какое максимальное количество фотографий могла при этом сделать Наташа.

У нас есть единственное уравнение:
\left ( y-x \right )n=935. Поскольку y-x – целое, n должно быть делителем числа 935. Разложим 935 на множители: 935 = 5∙11∙17.

Числа 1, 5, 11, 17, 55, 85, 187, 935 – делители числа 935.

При этом n\geq 55 невозможно, поскольку по условию x+n\leq 49.

Составим таблицу для значений n, равных 1, 5, 11 и 17.

\boldsymbol{n} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y-x=\frac{935}{n}} \boldsymbol{y=\frac{935}{n}+x} Количество фотографий,сделанных Наташей за \boldsymbol{n} дней:
\boldsymbol{S=\frac{2y+n-1}{2}\cdot n}
1 \boldsymbol{x\leq 49} 935 \boldsymbol{y\leq 984} \boldsymbol{S\leq 984}
5 \boldsymbol{x\leq 45} 187 \boldsymbol{y\leq 232} \boldsymbol{S\leq 1170}
11 \boldsymbol{x\leq 39} 85 \boldsymbol{y\leq 124} \boldsymbol{S\leq 1419}
17 \boldsymbol{x\leq 33} 55 \boldsymbol{y\leq 88} \boldsymbol{S\leq 1632}

 

Количество фотографий, которые могла сделать Наташа, не превышает 1632. Если n=17,\;x=33,\;y=88, то S=1632.

Ответ: 1632.

Посмотрите, как мы действовали. Сначала сделали «заготовку» для всех трех пунктов. Да, такой прием тоже часто применяется в нестандартных задачах.

Получили уравнение \left ( y-x \right )n=935. Из одного этого уравнения (как в сказке про суп из топора) мы получаем всё, что нам нужно. В пункте (в) есть перебор вариантов, но не хаотичный, а умный. Иначе перебирать варианты можно бесконечно.

Вот еще одна задача на числа и их свойства:

2. Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа A за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причём в этом случае число рейсов каждого автобуса типа B будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа B входит на 7 человек
меньше, чем в автобус типа A?

Помните, как мы решали текстовые задачи? Мы записывали данные задачи в таблицу. Сделаем так же.

Тип автобуса Сколько автобусов Сколько рейсов Сколько человек в автобусе
\boldsymbol{A} \boldsymbol{2} \boldsymbol{n} \boldsymbol{m+7}
\boldsymbol{B} \boldsymbol{3} \boldsymbol{n-1} \boldsymbol{m}

 

По условию, количество школьников, которое надо перевезти, одно и то же.

Оно равно 3\left ( n-1 \right )m=2n\left ( m+7 \right ). Отсюда 3mn-3m=2nm+14n.
Выразим одну из переменных через другую: m=\frac{14n}{n-3}
Мы видим, что переменная n и в числителе, и в знаменателе дроби. Оценить m трудно, правда? Чтобы проще было это сделать, выделим в дроби \frac{14n}{n-3} целую часть.

Еще один прием решения нестандартных задач – выделение целой части. Это помогает сделать оценку какой-либо величины.

m=\frac{14n}{n-3}=\frac{14\left ( n-3 \right )+42}{n-3}=14+\frac{42}{n-3} .

Поскольку m – натуральное число (количество школьников в автобусе типа В), выражение в правой части также должно быть целым положительным. Значит, 42 делится на n-3 без остатка.

Выпишем делители числа 42. Это 1; 2; 3; 6: 7; 14; 21; 42.

Заполним таблицу. Значения m вычисляем по формуле m=14+\frac{42}{n-3}, а общее количество школьников – как 3\left ( n-1 \right )m.

\boldsymbol{n-3} \boldsymbol{n} \boldsymbol{m} Общее количество школьников
1 4 56 504
2 5 35 420
3 6 28 420
6 9 21 504
7 10 20 540
14 17 17 816
21 24 16 1104
42 45 15 1980

 

Наибольшее количество школьников, которое можно перевезти в условиях задачи, равно 1980.

Конечно, мы выбирали довольно простые задачи. И конечно, есть и другие приемы их решения.

Например, метод «Оценка плюс пример». Мы разбираем множество нестандартных задач на наших интенсивах в ЕГЭ-Студии, а также на Онлайн-курсе.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных