18.
\(\left\{\begin{matrix}
y=\sqrt{x(2-x)}\\
(x-ay+2a)(x-y-a)=0
\end{matrix}\right.\)
Если \(a=0\), то \(x\cdot (x-y)=0\) и система имеет 2 решения.
Пусть \(a\neq 0\), тогда
\(\left\{\begin{matrix}
(x-1)^{2}+y^{2}=1\\
y\geq 0\\
\left[
\begin{gathered}
y=\frac{x}{a}+2\\
y=x-a \\
\end{gathered}
\right.
\end{matrix}\right.\)
1)
РИСУНОК
Первое уравнение \(y=\sqrt{x(2-x)}\) равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
y\geq 0\\
(x-1)^{2}+y^{2}=1\\
\end{matrix}\right.\)
Эта система задает верхнюю полуокружность с центром \((1;0)\) и радиусом \(1\).
2)
Прямая \(y=x-a\) имеет одну общую точку с полуокружностью, если \(a\in (0;2]\) или если точка \(A\) лежит на прямой \(y=x-a\).
В точке \(A\) прямая \(y=x-a\) является касательной к полуокружности \(y=\sqrt{x(2-x)}\).
Найдем значение параметра \(a\) в этой точке геометрическим способом.
РИСУНОК
В треугольнике \(MNK:\angle K=90^{\circ}; \angle M=\angle N=45^{\circ};\)
\( MN=2AK=2. MK=\sqrt{2}.\)
Тогда значение параметра \(a\) для точки \(A\) равно \(1-\sqrt{2}\).
Мы получили, что если \(a\in (0;2]\) или \(a=1-\sqrt{2}\), прямая \(y=x-a\) пересекает полуокружность в двух точках.
При других \(a\) прямая \(y=x-a\) не пересекает полуокружность.
3) Уравнение \(y=\frac{x}{a}+2\) задает семейство прямых, проходящих через точку \((0;2)\), с угловым коэффициентом \(\frac{1}{a}\).
Если \(a> 0\), точек пересечения с полуокружностью нет. Если прямая \(y=\frac{x}{a}+2\) проходит через точку \(B(1;1)\), она дважды пересекает полуокружность. В этом случае \(a=-1\).
Если \(a\in (-1;0)\), прямая \(y=\frac{x}{a}+2\) пересекает полуокружность в одной точке.
Найдем, при каком \(a\) прямая \(y=\frac{x}{a}+2\) касается полуокружности в точке \(C\).
РИСУНОК
\(\bigtriangleup PKC=\bigtriangleup PKO; \angle KPC=\varphi , \textup{tg}\varphi =\frac{1}{2}.\)
Тогда \(\alpha =90^{\circ}+2\varphi \) - вписанный угол треугольника \(POE\), при этом \(\alpha\) - угол наклона прямой \(y=\frac{x}{a}+2\) к положительному направлению оси \(x, \textup{tg}\alpha =\frac{1}{a}\). Найдем \(\textup{tg}\alpha\).
\(\textup{tg}\alpha =\textup{tg}(90^{\circ}+2\varphi )=-\textup{ctg}2\varphi =-\frac{1-\textup{tg}^{2}\varphi }{2\textup{tg}\varphi }=\frac{\textup{tg}^{2}\varphi -1}{2\textup{tg}\varphi }=\)
\(=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}\).
В точке \(C\) \(a=-\frac{4}{3}\).
Если \(a\in (-\frac{4}{3};-1]\), прямая \(y=\frac{x}{a}+2\) пересекает полуокружность в двух точках.
Изобразим на оси \(a\) промежутки для которых прямые \(y=x-a\) и \(y=\frac{x}{a}+2\) имеют с полуокружностью \(y=\sqrt{x(2-x)}\) одну и две общих точки.
РИСУНОК
Исходная система имеет ровно \(3\) решения, если \(a\in (1-\sqrt{2};0)\).
