Решение 18 вариант 1

18.
$\left\{\begin{matrix}y=\sqrt{x(2-x)}\\(x-ay+2a)(x-y-a)=0\end{matrix}\right.$
Если $a=0$ , то $x\cdot (x-y)=0$ и система имеет 2 решения.
Пусть $a\neq 0$ , тогда

$\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2}+y^{2}=1\\y\geq 0\\\left[\begin{gathered}y=\frac{x}{a}+2\\y=x-a \\\end{gathered}\right.\end{matrix}\right.$

1)
РИСУНОК
Первое уравнение $y=\sqrt{x(2-x)}$ равносильно системе:
$\left\{\begin{matrix}y\geq 0\\(x-1)^{2}+y^{2}=1\\\end{matrix}\right.$
Эта система задает верхнюю полуокружность с центром $(1;0)$ и радиусом $1$ .

2)
Прямая $y=x-a$ имеет одну общую точку с полуокружностью, если $a\in (0;2]$ или если точка $A$ лежит на прямой $y=x-a$ .
В точке $A$ прямая $y=x-a$ является касательной к полуокружности $y=\sqrt{x(2-x)}$ .
Найдем значение параметра $a$ в этой точке геометрическим способом.
РИСУНОК
В треугольнике $MNK:\angle K=90^{\circ}; \angle M=\angle N=45^{\circ};$
$MN=2AK=2. MK=\sqrt{2}.$
Тогда значение параметра $a$ для точки $A$ равно $1-\sqrt{2}$ .
Мы получили, что если $a\in (0;2]$ или $a=1-\sqrt{2}$ , прямая $y=x-a$ пересекает полуокружность в двух точках.
При других $a$ прямая $y=x-a$ не пересекает полуокружность.

3) Уравнение $y=\frac{x}{a}+2$ задает семейство прямых, проходящих через точку $(0;2)$ , с угловым коэффициентом $\frac{1}{a}$ .
Если $a> 0$ , точек пересечения с полуокружностью нет. Если прямая $y=\frac{x}{a}+2$ проходит через точку $B(1;1)$ , она дважды пересекает полуокружность. В этом случае $a=-1$ .
Если $a\in (-1;0)$ , прямая $y=\frac{x}{a}+2$ пересекает полуокружность в одной точке.
Найдем, при каком $a$ прямая $y=\frac{x}{a}+2$ касается полуокружности в точке $C$ .

РИСУНОК

$\bigtriangleup PKC=\bigtriangleup PKO; \angle KPC=\varphi , \textup{tg}\varphi =\frac{1}{2}.$
Тогда $\alpha =90^{\circ}+2\varphi$ - вписанный угол треугольника $POE$ , при этом $\alpha$ - угол наклона прямой $y=\frac{x}{a}+2$ к положительному направлению оси $x, \textup{tg}\alpha =\frac{1}{a}$ . Найдем $\textup{tg}\alpha$ .

$\textup{tg}\alpha =\textup{tg}(90^{\circ}+2\varphi )=-\textup{ctg}2\varphi =-\frac{1-\textup{tg}^{2}\varphi }{2\textup{tg}\varphi }=\frac{\textup{tg}^{2}\varphi -1}{2\textup{tg}\varphi }=$

$=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$ .

В точке $C$ $a=-\frac{4}{3}$ .

Если $a\in (-\frac{4}{3};-1]$ , прямая $y=\frac{x}{a}+2$ пересекает полуокружность в двух точках.

Изобразим на оси $a$ промежутки для которых прямые $y=x-a$ и $y=\frac{x}{a}+2$ имеют с полуокружностью $y=\sqrt{x(2-x)}$ одну и две общих точки.

РИСУНОК

Исходная система имеет ровно $3$ решения, если $a\in (1-\sqrt{2};0)$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение 18 вариант 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 30.08.2023

Решение 18 вариант 1

Рекомендуем

Это полезно