Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U=U_0{\sin \left(\omega t+\varphi \right)\ },\) где t — время в секундах, амплитуда \(U_0=2\) В, частота \(\omega = 150^{\circ} \)/c , фаза \(\varphi = 45^{\circ}\). Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Решение:
По условию,
\(u=u_0{\sin (\omega t+\varphi ) }\ge 1,\)
\(U_0 =2,\) \(\omega=150\), \(\varphi = 45^{\circ}\), \(t\in [0;1]\).
Получим неравенство:
\({\sin (150^{\circ} t+45^{\circ})\ }\ge \frac{1}{2}\)
Пусть \(150^{\circ} t+45^{\circ} =z. \) Решения неравенства \({\sin z\ }\ge \frac{1}{2}\ \) найдем с помощью тригонометрического круга:
Так \(0\le t\ \le 1,\) получим, что 
. Значит, n = 1.
Решим двойное неравенство:
\(30^{\circ} \le 150^{\circ} t+45^{\circ} \le 150^{\circ} \)
\(-15^{\circ} \le 150^{\circ} t\le 105^{\circ}\)
\(0\le t\le \frac{105}{150}\)
\(0\le t\le \frac{7}{10}. \)
Получили, что условие задачи выполняется в течение 70% времени из первой секунды.
Ответ: 70.
