previous arrow
next arrow
Slider

Маттренинги Вариант 3

В этом варианте довольно простая вторая часть. А вот первая часть немного сложнее, чем стандартные варианты ЕГЭ.

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 600 рублей. Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 600 рублей?

Посмотреть решение

2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?

Посмотреть решение

3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Посмотреть решение

4. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 69 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку - 0,6 и по обществознанию - 0,9.

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Посмотреть решение

5. Найдите корень уравнения: {\cos \frac{\pi(x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\ } В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Посмотреть решение

6. Площадь треугольника ABC равна 96, DE - средняя линия. Найдите площадь треугольника СDE

Посмотреть решение

7. На рисунке изображен график производной функции f, определенной на интервале (-9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=x-7 или совпадает с ней.

Посмотреть решение

8. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45^{\circ}. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

9. Найдите значение выражения \frac{\sqrt[{12}]{\sqrt{-m}}}{\sqrt{100\sqrt[{12}]{-m}}} при 

Посмотреть решение

10. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U=U_0{\sin \left(\omega t+\varphi \right)\ }, где t — время в секундах, амплитуда U_0=2 В, частота \omega = 150^{\circ} /c , фаза \varphi = 45^{\circ} . Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Посмотреть решение

11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 399 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

12. Найдите абсциссу точки максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2}.

Посмотреть решение

Часть 2. Задания с развернутым ответом.

13. Авторская задача.

а) Решите уравнение

\frac{{\rm 1-}{\cos {\rm 2}{\rm x-}\sqrt{{\rm 3}}{\sin x} }}{{\rm 2}{\cos x-1\ }}=0

б) Найти корни этого уравнения на отрезке [\pi ;\ \ \frac{5 \pi}{2}].

Посмотреть решение

14. Плоскость \alpha перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость \alpha разбивает пирамиду.

Посмотреть решение

15. Авторская задача.

Решите неравенство:

{{\log }_{2(3-\sqrt{7})} 19\ }\le {{\rm log}}_{2\left(3-\sqrt{7}\right)}(3^x-8)

Посмотреть решение

16. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.

а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.

б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.

Посмотреть решение

17. Авторская задача. Вклад в размере 150 тысяч рублей открыт в январе 2016 года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 8% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в январе каждого года, начиная с 2017, вкладчик вносит на счет дополнительные средства так, что в марте 2017, 2018 и 2019 года сумма на счете превышает исходную на 50, 100 и 170 процентов соответственно.

На какую сумму вкладчик пополнил счет в 2019 году?

Посмотреть решение

18. Авторская задача. При каких значениях параметра b система

имеет единственное решение?

Посмотреть решение

19. После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу выражался нецелым числом, а после перемены - целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?

Посмотреть решение

Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор