Плоскость перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.
а) Докажите, что плоскость делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.
Решение:
а) Пусть точка M — середина BC, N — середина AB, K — середина MN, H — середина AC.
Треугольник АВС правильный, значит, ВН — его медиана и высота,
В плоскости SHB проведем , точка L лежит на ребре SB. тогда
Плоскость LMN содержит перпендикуляр KL к плоскости АВС. По признаку перпендикулярности плоскостей, .
— искомое сечение пирамиды плоскостью
, проходящей через точки
и
Докажем, что точка L делит ребро BS в отношении 1:3, считая от вершины S.
Рассмотрим . Точка О — проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Она является центром правильного треугольника АВС и точкой пересечения его медиан. По свойству медиан,
. С другой стороны,
по двум углам;
Получили, что ,
;
, что и требовалось доказать.
б) Найдём .
— средняя линия треугольника АВС.
по двум углам,
. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, и
— высота пирамиды
,
(из подобия
и
);
Значит, отношение объемов частей, на которые плоскость делит пирамиду, равно
Ответ: 3 : 13.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 14, Вариант 3 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 24.09.2023