previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14, Вариант 3 — разбор решения задачи

Плоскость \alpha перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость \alpha разбивает пирамиду.

Решение:

а) Пусть точка M — середина BC, N — середина AB, K — середина MN, H — середина AC.

Треугольник АВС правильный, значит, ВН — его медиана и высота, K\in BH.

В плоскости SHB проведем KL\parallel SO , точка L лежит на ребре SB. тогда KL\bot \left(ABC\right).

Плоскость LMN содержит перпендикуляр KL к плоскости АВС. По признаку перпендикулярности плоскостей, (LMN)\bot (ABC).

\vartriangle LMN — искомое сечение пирамиды плоскостью \alpha , проходящей через точки L,\ M\ и \ N.

Докажем, что точка L делит ребро BS в отношении 1:3, считая от вершины S.

Рассмотрим \vartriangle BOS. Точка О — проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Она является центром правильного треугольника АВС и точкой пересечения его медиан. По свойству медиан, BO=\frac{2}{3}BH. С другой стороны, BK=\frac{1}{2}BH;

\vartriangle BOS \sim \vartriangle BKL по двум углам; \frac{BK}{BO}=\frac{BL}{BS}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.\

Получили, что BL=\frac{3}{4}BS , \ \ LS=\frac{1}{4}BS; \ LS :BL\ =1\ :3, что и требовалось доказать.

б) Найдём V_{BNML}.

MN\ — средняя линия треугольника АВС.

\vartriangle BNM\sim \vartriangle ABC по  двум  углам, k=\frac{1}{2}. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, и S_{\vartriangle BNM}=\frac{1}{4}S_{\vartriangle ABC}.

LK — высота пирамиды BNML,

LK=\frac{3}{4}SO (из подобия \vartriangle BLK и \vartriangle BSO);

V_{BNML}=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}V_{SABC}.

Значит, отношение объемов частей, на которые плоскость \alpha делит пирамиду, равно 3:13.

Ответ: 3 : 13.

Смотреть все задачи варианта