Задание 14, Вариант 3 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду.

Решение:

а) Пусть точка M — середина BC, N — середина AB, K — середина MN, H — середина AC.

Треугольник АВС правильный, значит, ВН — его медиана и высота, $K\in BH.$

В плоскости SHB проведем $KL\parallel SO$ , точка L лежит на ребре SB. тогда $KL\bot \left(ABC\right).$

Плоскость LMN содержит перпендикуляр KL к плоскости АВС. По признаку перпендикулярности плоскостей, $(LMN)\bot (ABC)$ .

$\vartriangle LMN$ — искомое сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ , проходящей через точки $L,\ M\$ и $\ N.$

Докажем, что точка L делит ребро BS в отношении 1:3, считая от вершины S.

Рассмотрим $\vartriangle BOS$ . Точка О — проекция точки S на плоскость основания пирамиды. Она является центром правильного треугольника АВС и точкой пересечения его медиан. По свойству медиан, $BO=\frac{2}{3}BH$ . С другой стороны, $BK=\frac{1}{2}BH;$

$\vartriangle BOS \sim \vartriangle BKL$ по двум углам; $\frac{BK}{BO}=\frac{BL}{BS}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.\$

Получили, что $BL=\frac{3}{4}BS$ , $\ \ LS=\frac{1}{4}BS$ ; $\ LS$ $:BL\ =1\ :3$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём $V_{BNML}$ .

$MN\$ — средняя линия треугольника АВС.

$\vartriangle BNM\sim \vartriangle ABC$ по двум углам, $k=\frac{1}{2}$ . Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, и $S_{\vartriangle BNM}=\frac{1}{4}S_{\vartriangle ABC}.$

$LK$ — высота пирамиды $BNML$ ,

$LK=\frac{3}{4}SO$ (из подобия $\vartriangle BLK$ и $\vartriangle BSO$ );

$V_{BNML}=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}V_{SABC}.$

Значит, отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ делит пирамиду, равно $3:13.$

Ответ: 3 : 13.

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 14, Вариант 3 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 24.09.2023

Задание 14, Вариант 3 — разбор решения задачи

Это полезно