Задание 18, Вариант 3 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. При каких значениях параметра $b$ система

имеет единственное решение?

Решение:

Сделаем замену (стандартную для таких задач): $cost=x,\ sint=y.$

Получим систему:

$\left\{\begin{matrix}\frac{y}{x}\le 0 \\x^2+y^2=1 \\y=bx-2b+1\end{matrix}\right.$

Из первого неравенства получим, что х и у должны быть разных знаков, причем $x\ne 0$ .

Уравнение $x^2+y^2=1$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Третье уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $b,$ проходящую через точку $M\left(2;1\right).$

Решим систему графически:

Система имеет единственное решение в следующих случаях:

1) если прямая, заданная третьим уравнением, проходит через точку А или выше точки А и ниже точки B.

2) В случае касания в точке E.

3) Если прямая проходит через точку $C\left(1;0\right).$ Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.

Случай 1. Подставим координаты А (-1; 0) в уравнение прямой $y=b\left(x-2\right)+1$ .

Для точки A: $b=\frac{1}{3}.$

Для точки В с координатами (0; 1) получим: $b=0.$

Для точки C с координатами (1; 0) получим: $b=1.$

Найдём значение параметра для прямой, проходящей через точку Е - точку касания.

Вспомним условие касания функции $y=f\left(x\right)$ и прямой $y=kx+b$ .

$\left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b \\f$

Точка E лежит на нижней полуокружности, уравнение которой можно записать в виде:

$y = - \sqrt{1 - x^2.}$

Получим (при условии ):

$\left\{\begin{matrix}-\sqrt{1-x^2}=b\left(x-2\right)+1 \\\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=b\end{matrix}\right.$

Подставим $b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ в первое уравнение.

$-\sqrt{1-x^2}=\frac{x\left(x-2\right)}{\sqrt{1-x^2}}+1$

$x^2-1=x^2-2x+\sqrt{1-x^2}$

$2x-1=\sqrt{1-x^2}$

Возведем обе части уравнение в квадрат при условии

$2x-1\ge 0$ ;

$1-x^2=4x^2-4x+1$

$5x^2-4x=0$

$x=0$ или $x=\frac{4}{5}$ .

Решение $x=0$ соответствует точка $B$ , которая тоже являются точкой касания прямой и окружности.

Решение $x=\frac{4}{5}$ соответствует такие E.

При этом $b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4}{5}\ :\ \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}\ :\ \frac{3}{5}=\frac{4}{3}.$

Ответ: $b\in \left(0;\left.\frac{1}{3}\right]\cup \left\{1;\frac{4}{3}\right\}\right..$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 18, Вариант 3 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 11.03.2023

Задание 18, Вариант 3 — разбор решения задачи

Это полезно