previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18, Вариант 3 — разбор решения задачи

Авторская задача. При каких значениях параметра b система

имеет единственное решение?

Решение:

Сделаем замену (стандартную для таких задач): cost=x,\ sint=y.

Получим систему:

\left\{\begin{matrix}\frac{y}{x}\le 0 \\x^2+y^2=1 \\y=bx-2b+1\end{matrix}\right. 

 

Из первого неравенства получим, что х и у должны быть разных знаков, причем x\ne 0.

Уравнение x^2+y^2=1 задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Третье уравнение задает прямую с угловым коэффициентом b, проходящую через точку M\left(2;1\right).

Решим систему графически:

Система имеет единственное решение в следующих случаях:

1) если прямая, заданная третьим уравнением, проходит через точку А или выше точки А и ниже точки B.

2) В случае касания в точке E.

3) Если прямая проходит через точку C\left(1;0\right). Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.

Случай 1. Подставим координаты А (-1; 0) в уравнение прямой y=b\left(x-2\right)+1.

Для точки A: b=\frac{1}{3}.

Для точки В с координатами (0; 1) получим: b=0.

Для точки C с координатами (1; 0) получим: b=1.

Найдём значение параметра для прямой, проходящей через точку Е - точку касания.

Вспомним условие касания функции y=f\left(x\right) и прямой y=kx+b.

\left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b \\f

Точка E лежит на нижней полуокружности, уравнение которой можно записать в виде:

y = - \sqrt{1 - x^2.}

Получим (при условии ):

\left\{\begin{matrix}-\sqrt{1-x^2}=b\left(x-2\right)+1 \\\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=b\end{matrix}\right.

Подставим b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} в первое уравнение.

-\sqrt{1-x^2}=\frac{x\left(x-2\right)}{\sqrt{1-x^2}}+1

x^2-1=x^2-2x+\sqrt{1-x^2}

2x-1=\sqrt{1-x^2}

Возведем обе части уравнение в квадрат при условии

2x-1\ge 0

1-x^2=4x^2-4x+1

5x^2-4x=0

x=0 или x=\frac{4}{5}.

Решение x=0 соответствует точка B, которая тоже являются точкой касания прямой и окружности.

Решение x=\frac{4}{5} соответствует такие E.

При этом b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4}{5}\ :\ \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}\ :\ \frac{3}{5}=\frac{4}{3}.

Ответ: b\in \left(0;\left.\frac{1}{3}\right]\cup \left\{1;\frac{4}{3}\right\}\right..

Смотреть все задачи варианта