Авторская задача. При каких значениях параметра \(b\) система
имеет единственное решение?
Решение:
Сделаем замену (стандартную для таких задач): \(cost=x,\ sint=y.\)
Получим систему:
\(
\left\{\begin{matrix}
\frac{y}{x}\le 0 \\
x^2+y^2=1 \\
y=bx-2b+1
\end{matrix}\right.
\) 
Из первого неравенства получим, что х и у должны быть разных знаков, причем \(x\ne 0\).
Уравнение \(x^2+y^2=1\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1.
Третье уравнение задает прямую с угловым коэффициентом \(b,\) проходящую через точку \(M\left(2;1\right).
\)
Решим систему графически:
Система имеет единственное решение в следующих случаях:
1) если прямая, заданная третьим уравнением, проходит через точку А или выше точки А и ниже точки B.
2) В случае касания в точке E.
3) Если прямая проходит через точку \(C\left(1;0\right).\) Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.
Случай 1. Подставим координаты А (-1; 0) в уравнение прямой \( y=b\left(x-2\right)+1\).
Для точки A: \(b=\frac{1}{3}. \)
Для точки В с координатами (0; 1) получим: \(b=0.\)
Для точки C с координатами (1; 0) получим: \(b=1.\)
Найдём значение параметра для прямой, проходящей через точку Е - точку касания.
Вспомним условие касания функции \(y=f\left(x\right)\) и прямой \(y=kx+b\).
\(
\left\{\begin{matrix}
f(x)=kx+b \\
f'(x)=k
\end{matrix}\right.
\)
Точка E лежит на нижней полуокружности, уравнение которой можно записать в виде:
\(y = - \sqrt{1 - x^2.}\)
Получим (при условии 
):
\(\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{1-x^2}=b\left(x-2\right)+1 \\
\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=b
\end{matrix}\right.\)
Подставим \(b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) в первое уравнение.
\(-\sqrt{1-x^2}=\frac{x\left(x-2\right)}{\sqrt{1-x^2}}+1 \)
\(x^2-1=x^2-2x+\sqrt{1-x^2} \)
\(2x-1=\sqrt{1-x^2} \)
Возведем обе части уравнение в квадрат при условии
\(2x-1\ge 0\); 
\(1-x^2=4x^2-4x+1 \)
\(5x^2-4x=0 \)
\(x=0\) или \(x=\frac{4}{5}\).
Решение \(x=0\) соответствует точка \(B\), которая тоже являются точкой касания прямой и окружности.
Решение \( x=\frac{4}{5}\) соответствует такие E.
При этом \(b=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{4}{5}\ :\ \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}\ :\ \frac{3}{5}=\frac{4}{3}.
\)
Ответ: \(b\in \left(0;\left.\frac{1}{3}\right]\cup \left\{1;\frac{4}{3}\right\}\right..\)
