После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?
б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу выражался нецелым числом, а после перемены — целым числом?
в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?
Решение:
Пусть в классе \(n\) учеников, \(20\le n\le 30\).
а) Да, так может быть. Предположим, что \(n = 29.\) На уроке выяснилось, что 14 человек из 29 правильно решили задачу, и это меньшая часть класса, 
На перемене обнаружился 15-й ученик, решивший задачу, и теперь задачу решила большая часть класса, 
Возможны и другие примеры. Например, \(n =27 \) и на уроке засчитали решение задачи 13 ученикам, а на перемене добавился 14-й.
б) Да, такое может быть. Например, \(n =24. \) Из них 11 ученикам засчитали решение задачи на уроке, а на перемене к ним добавился 12-й. При этом \(\frac{11}{24}\ \cdot 100\%\ \) не является целым числом, а \(\frac{12}{24}\ \cdot 100\%=50\%\) — целое. Возможны и другие примеры.
в) Пусть число учеников, которым было засчитано решение задачи (до перемены или после) равно \(k.\) По условию, возможен случай, когда никому из учеников в классе задача не была засчитана. Значит, \( k\ge 1\).
Обозначим \(p=\frac{100k}{n} \) — процент решивших задачу (после перемены). По условию, \(p\) - натуральное число. Найдем наименьшее возможное значение \(p\).
Чтобы \(p\) было натуральным (целым положительным), необходимо, чтобы \(100k\) делилось на \(n\) без остатка. Записывается это так: \( 100k \ \vdots \ n.\)
Заметим, что если \(n\) — делитель числа 100 и \(20\le n\le 30,\) это условие выполняется для \(n\) = 20 или \(n\) = 25.
Пусть \(n=25,\ k=1.\)
Тогда \(p=4.\)
Если \(n=20,\ k=1,\ \)то 
Можно перебрать возможные значения \( n = 21, 22, 23\dots 30. \) Более быстрый способ — рассмотреть по отдельности случаи \(20\le n\le 24\) и \(26\le n\le 30.\)
Если 
то 
и 
Рассмотрим случай \(26\le n\le 30,\ \) то есть \(n=26,\ 27,\ 28,\ 29\) или \(30.\)
Если \(k=1\), то \(\frac{100}{26},\ \frac{100}{27},\ \frac{100}{28},\ \frac{100}{29}\) и \( \frac{100}{30}\) — не являются натуральными.
Пусть \(k\ge 2.\)
Тогда \(\frac{100k}{n}\ge \frac{2\cdot 100}{n}\ge \frac{2\cdot 100}{30}.\)
Значит, \(p=4\) — наименьшее значение р.
Ответ:
а) да
б) да
в) 4
