previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 3 — разбор решения задачи

Авторская задача. а) Решите уравнение

\(\frac{{\rm 1-}{\cos {\rm 2}{\rm x-}\sqrt{{\rm 3}}{\sin x} }}{{\rm 2}{\cos x-1\ }}=0\)

б) Найти корни этого уравнения на отрезке \([\pi ;\ \ \frac{5 \pi}{2}].\)

Решение:

\(\frac{1-cos2x-\sqrt{3}sinx}{2cosx-1}=0 \)

По формуле понижения степени, \(1-cos2x={2sin}^2x\)

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Напомним, что мы не решаем эту систему в уме. Мы отмечаем все условия: \(sinx=0\) или \(\ sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \), и  при  этом \(\ cosx\ne \frac{1}{2} \) — на тригонометрическом круге. Видим, что серия решений \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in Z\) не удовлетворяет условию \(cosx\ne \frac{1}{2}.\ \)

б) Покажем, как найти корни уравнения на отрезке \(x\in \left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\) с помощью двойных неравенств.

1) Для серии \(x=\pi n,\ \ \ n\in Z\) получим:

\(\pi \le \pi n\le \frac{5 \pi}{2} \)

\(1\le n\le \frac{5}{2} \)

Поскольку \(n\) — целое, \(n\) = 1 или \(n\) = 2. Тогда \({{\rm x}}_{{\rm 1}}{\rm =}\pi \), \({{\rm x}}_{{\rm 2}}{\rm =2}\pi \)

2)  Для серии \(x=\ \frac{2\pi}{3}+2  \pi k,\ n,\ k\in Z \)получим:

\(\pi \le \frac{2\pi}{3}+2\pi k\le \frac{5\pi}{2} \)

\(2\le \frac{4}{3}+4k\le 5 \)

\(\frac{1}{6}\le k\le \frac{11}{3}\) — нет целых решений.

Ответ:

а)\( \pi n,\ \ \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ n,\ k\in Z\)

б) На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\ \)   лежат корни  \( x_1=\pi\) и \(x_2=2\pi
\)

Смотреть все задачи варианта