previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 3 — разбор решения задачи

Авторская задача. а) Решите уравнение

\frac{{\rm 1-}{\cos {\rm 2}{\rm x-}\sqrt{{\rm 3}}{\sin x} }}{{\rm 2}{\cos x-1\ }}=0

б) Найти корни этого уравнения на отрезке [\pi ;\ \ \frac{5 \pi}{2}].

Решение:

\frac{1-cos2x-\sqrt{3}sinx}{2cosx-1}=0

По формуле понижения степени, 1-cos2x={2sin}^2x

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Напомним, что мы не решаем эту систему в уме. Мы отмечаем все условия: sinx=0 или \ sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\ , и  при  этом \ cosx\ne \frac{1}{2} — на тригонометрическом круге. Видим, что серия решений x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in Z не удовлетворяет условию cosx\ne \frac{1}{2}.\

б) Покажем, как найти корни уравнения на отрезке x\in \left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right] с помощью двойных неравенств.

1) Для серии x=\pi n,\ \ \ n\in Z получим:

\pi \le \pi n\le \frac{5 \pi}{2}

1\le n\le \frac{5}{2}

Поскольку n — целое, n = 1 или n = 2. Тогда {{\rm x}}_{{\rm 1}}{\rm =}\pi , {{\rm x}}_{{\rm 2}}{\rm =2}\pi

2)  Для серии x=\ \frac{2\pi}{3}+2  \pi k,\ n,\ k\in Z получим:

\pi \le \frac{2\pi}{3}+2\pi k\le \frac{5\pi}{2}

2\le \frac{4}{3}+4k\le 5

\frac{1}{6}\le k\le \frac{11}{3} — нет целых решений.

Ответ:

а)\pi n,\ \ \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ n,\ k\in Z

б) На отрезке \left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\    лежат корни  x_1=\pi и x_2=2\pi

Смотреть все задачи варианта