Авторская задача. а) Решите уравнение
\(\frac{{\rm 1-}{\cos {\rm 2}{\rm x-}\sqrt{{\rm 3}}{\sin x} }}{{\rm 2}{\cos x-1\ }}=0\)
б) Найти корни этого уравнения на отрезке \([\pi ;\ \ \frac{5 \pi}{2}].\)
Решение:
\(\frac{1-cos2x-\sqrt{3}sinx}{2cosx-1}=0 \)
По формуле понижения степени, \(1-cos2x={2sin}^2x\)
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Напомним, что мы не решаем эту систему в уме. Мы отмечаем все условия: \(sinx=0\) или \(\ sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \), и при этом \(\ cosx\ne \frac{1}{2} \) — на тригонометрическом круге. Видим, что серия решений \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in Z\) не удовлетворяет условию \(cosx\ne \frac{1}{2}.\ \)
б) Покажем, как найти корни уравнения на отрезке \(x\in \left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\) с помощью двойных неравенств.
1) Для серии \(x=\pi n,\ \ \ n\in Z\) получим:
\(\pi \le \pi n\le \frac{5 \pi}{2} \)
\(1\le n\le \frac{5}{2} \)
Поскольку \(n\) — целое, \(n\) = 1 или \(n\) = 2. Тогда \({{\rm x}}_{{\rm 1}}{\rm =}\pi \), \({{\rm x}}_{{\rm 2}}{\rm =2}\pi \)
2) Для серии \(x=\ \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,\ n,\ k\in Z \)получим:
\(\pi \le \frac{2\pi}{3}+2\pi k\le \frac{5\pi}{2} \)
\(2\le \frac{4}{3}+4k\le 5 \)
\(\frac{1}{6}\le k\le \frac{11}{3}\) — нет целых решений.
Ответ:
а)\( \pi n,\ \ \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ n,\ k\in Z\)
б) На отрезке \(\left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\ \) лежат корни \( x_1=\pi\) и \(x_2=2\pi
\)