Задание 13, Вариант 3 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. а) Решите уравнение

$\frac{{\rm 1-}{\cos {\rm 2}{\rm x-}\sqrt{{\rm 3}}{\sin x} }}{{\rm 2}{\cos x-1\ }}=0$

б) Найти корни этого уравнения на отрезке $[\pi ;\ \ \frac{5 \pi}{2}].$

Решение:

$\frac{1-cos2x-\sqrt{3}sinx}{2cosx-1}=0$

По формуле понижения степени, $1-cos2x={2sin}^2x$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Напомним, что мы не решаем эту систему в уме. Мы отмечаем все условия: $sinx=0$ или $\ sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\$ , и при этом $\ cosx\ne \frac{1}{2}$ — на тригонометрическом круге. Видим, что серия решений $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in Z$ не удовлетворяет условию $cosx\ne \frac{1}{2}.\$

б) Покажем, как найти корни уравнения на отрезке $x\in \left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]$ с помощью двойных неравенств.

1) Для серии $x=\pi n,\ \ \ n\in Z$ получим:

$\pi \le \pi n\le \frac{5 \pi}{2}$

$1\le n\le \frac{5}{2}$

Поскольку $n$ — целое, $n$ = 1 или $n$ = 2. Тогда ${{\rm x}}_{{\rm 1}}{\rm =}\pi$ , ${{\rm x}}_{{\rm 2}}{\rm =2}\pi$

2) Для серии $x=\ \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,\ n,\ k\in Z$ получим:

$\pi \le \frac{2\pi}{3}+2\pi k\le \frac{5\pi}{2}$

$2\le \frac{4}{3}+4k\le 5$

$\frac{1}{6}\le k\le \frac{11}{3}$ — нет целых решений.

Ответ:

а) $\pi n,\ \ \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ n,\ k\in Z$

б) На отрезке $\left[\pi;\ \frac{5\pi}{2}\right]\$ лежат корни $x_1=\pi$ и $x_2=2\pi$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 13, Вариант 3 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 25.09.2023

Задание 13, Вариант 3 — разбор решения задачи

Это полезно