Задание 16, Вариант 3 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.

а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.

б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.

Решение:

Точка O лежит на окружности с центром в середине AB.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Докажем, что CО — биссектриса угла АВС и что $\angle ACO=\angle OCB={45}^{\circ}.$ Это будет означать, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на луче СО.

В четырехугольнике AOCB сумма углов ACB и AOB равна ${90}^{\circ}+{90}^{\circ}={180}^{\circ}.$ Значит, четырехугольник AOCB можно вписать в окружность.

$\angle ABO=\angle ACO={45}^{\circ}$ — как вписанные углы, опирающиеся на дугу АО.

б) Найдём отношение $OM:CM$ . Пусть угол ВАС равен $\varphi$ .

По условию, $sin\varphi =0,6=\frac{3}{5}.$ Тогда $cos \varphi =\frac{4}{5}\$ (Пифагорова тройка).

Пусть $BC=3a,\ \ AC=4a,\ \ AB=5a.$

CM — биссектриса $\vartriangle ABC.\$

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, поэтому $\ \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}.$

Значит, $\ AM=\frac{4}{7}\cdot 5a,\ \ \ BM=\frac{3}{7}\cdot 5a.\$

$AO=OB=\frac{5a\sqrt{2}}{2}{\rm }{\rm \ }$ — как половины диагоналей квадрата, сторона которого равна $5a.$

Запишем теорему косинусов для треугольников АОМ и АСМ.

Из $\vartriangle AOM$ :

${OM}^2={AM}^2+{AO}^2-2\cdot AM\cdot AO\cdot cos{45}^{\circ }=$

$={\left(\frac{4}{7}\cdot 5\right)}^2\cdot a^2+\frac{{25a}^2}{2}-2\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{5a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}={\left(\frac{25}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^2;$

$OM=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}$

Из $\vartriangle ACM:$

${CM}^2={AC}^2+{AM}^2-2AC\cdot AM\cdot cos \varphi =$

${\left(4a\right)}^2+{\left(\frac{4}{7}\cdot 5a\right)}^2-2\cdot 4a\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{4}{5}=\frac{288}{49}a^2; \ CM=\frac{12}{7}a\sqrt{2};$

$\frac{OM}{CM}=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{7}{12a\sqrt{2}}=\frac{25}{24}.$

Ответ: $\frac{25}{24}.$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 3 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 24.09.2023

Задание 16, Вариант 3 — разбор решения задачи

Это полезно