Slider

Решение. Задание 16, Вариант 3

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.

а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.

б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.

Решение:

Точка O лежит на окружности с центром в середине AB.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Докажем, что CО — биссектриса угла АВС и что \angle ACO=\angle OCB={45}^{\circ}. Это будет означать, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на луче СО.

В четырехугольнике AOCB  сумма углов ACB и AOB равна {90}^{\circ}+{90}^{\circ}={180}^{\circ}. Значит, четырехугольник AOCB можно вписать в окружность.

\angle ABO=\angle ACO={45}^{\circ} — как вписанные углы, опирающиеся на дугу АО.

б) Найдём отношение OM:CM. Пусть угол ВАС равен \varphi .

По условию, sin\varphi  =0,6=\frac{3}{5}. Тогда cos \varphi  =\frac{4}{5}\ (Пифагорова тройка).

Пусть BC=3a,\ \ AC=4a,\ \ AB=5a.

CM — биссектриса \vartriangle ABC.\

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, поэтому \ \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}.

Значит, \ AM=\frac{4}{7}\cdot 5a,\ \ \ BM=\frac{3}{7}\cdot 5a.\

AO=OB=\frac{5a\sqrt{2}}{2}{\rm }{\rm \ } — как половины диагоналей квадрата, сторона которого равна 5a.

Запишем теорему косинусов для треугольников АОМ и АСМ.

Из \vartriangle AOM:

{OM}^2={AM}^2+{AO}^2-2\cdot AM\cdot AO\cdot cos{45}^{\circ }=

={\left(\frac{4}{7}\cdot 5\right)}^2\cdot a^2+\frac{{25a}^2}{2}-2\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{5a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}={\left(\frac{25}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^2;

OM=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}

Из \vartriangle ACM:

{CM}^2={AC}^2+{AM}^2-2AC\cdot AM\cdot cos \varphi =

{\left(4a\right)}^2+{\left(\frac{4}{7}\cdot 5a\right)}^2-2\cdot 4a\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{4}{5}=\frac{288}{49}a^2; \ CM=\frac{12}{7}a\sqrt{2};

\frac{OM}{CM}=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{7}{12a\sqrt{2}}=\frac{25}{24}.

Ответ: \frac{25}{24}.

Смотреть все задачи варианта

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.