previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 3 — разбор решения задачи

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.

а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.

б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.

Решение:

Точка O лежит на окружности с центром в середине AB.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Докажем, что CО — биссектриса угла АВС и что \angle ACO=\angle OCB={45}^{\circ}. Это будет означать, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на луче СО.

В четырехугольнике AOCB  сумма углов ACB и AOB равна {90}^{\circ}+{90}^{\circ}={180}^{\circ}. Значит, четырехугольник AOCB можно вписать в окружность.

\angle ABO=\angle ACO={45}^{\circ} — как вписанные углы, опирающиеся на дугу АО.

б) Найдём отношение OM:CM. Пусть угол ВАС равен \varphi .

По условию, sin\varphi  =0,6=\frac{3}{5}. Тогда cos \varphi  =\frac{4}{5}\ (Пифагорова тройка).

Пусть BC=3a,\ \ AC=4a,\ \ AB=5a.

CM — биссектриса \vartriangle ABC.\

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, поэтому \ \frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}.

Значит, \ AM=\frac{4}{7}\cdot 5a,\ \ \ BM=\frac{3}{7}\cdot 5a.\

AO=OB=\frac{5a\sqrt{2}}{2}{\rm }{\rm \ } — как половины диагоналей квадрата, сторона которого равна 5a.

Запишем теорему косинусов для треугольников АОМ и АСМ.

Из \vartriangle AOM:

{OM}^2={AM}^2+{AO}^2-2\cdot AM\cdot AO\cdot cos{45}^{\circ }=

={\left(\frac{4}{7}\cdot 5\right)}^2\cdot a^2+\frac{{25a}^2}{2}-2\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{5a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}={\left(\frac{25}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\right)}^2;

OM=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}

Из \vartriangle ACM:

{CM}^2={AC}^2+{AM}^2-2AC\cdot AM\cdot cos \varphi =

{\left(4a\right)}^2+{\left(\frac{4}{7}\cdot 5a\right)}^2-2\cdot 4a\cdot \frac{4}{7}\cdot 5a\cdot \frac{4}{5}=\frac{288}{49}a^2; \ CM=\frac{12}{7}a\sqrt{2};

\frac{OM}{CM}=\frac{25}{7}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{7}{12a\sqrt{2}}=\frac{25}{24}.

Ответ: \frac{25}{24}.

Смотреть все задачи варианта