На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построен квадрат с центром О.
а) Отрезок ОС пересекает гипотенузу треугольника в точке М. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на прямой ОС.
б) Найдите отношение ОМ : СМ, если sin A = 0,6.
Решение:
Точка O лежит на окружности с центром в середине AB.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Докажем, что CО — биссектриса угла АВС и что Это будет означать, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на луче СО.
В четырехугольнике AOCB сумма углов ACB и AOB равна Значит, четырехугольник AOCB можно вписать в окружность.
— как вписанные углы, опирающиеся на дугу АО.
б) Найдём отношение . Пусть угол ВАС равен
.
По условию, Тогда
(Пифагорова тройка).
Пусть
CM — биссектриса
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, поэтому
Значит,
— как половины диагоналей квадрата, сторона которого равна
Запишем теорему косинусов для треугольников АОМ и АСМ.
Из :
Из
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 3 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 24.09.2023