При температуре \(0^{\circ}C\) рельс имеет длину \(l_{0}=10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t)=l_0\left ( 1+\alpha \cdot t \right )\), где \(\alpha=1,2 \cdot 10^{-5}\) — коэффициент теплового расширения, \({\rm \ t}\) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение:
Зависимость \(l\left(t\right)=l_0(1+\alpha \cdot t)\) — это функция длины рельса от температуры. Длина рельса зависит от температуры по определенному правилу. При изменении температуры длина металлического рельса может измениться на несколько миллиметров.
Подставим в эту формулу начальные значения: \({l_{0 }}\)=10м и \(\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\). Рельс удлинился на 3 мм, то есть в какой-то момент его длина стала на 3 мм больше. Значит, при определенной температуре длина рельса \(\ l\left(t\right)\) стала равной 10 м + 3 мм.
Переведем миллиметры в метры. Один миллиметр — это одна тысячная часть метра (1 мм = 0,001 м = \({10}^{-3}\) метра).
\(l\left(t\right)=10+3\cdot {10}^{-3}\) (м)
Получим:
\(10+3\cdot {10}^{-3}=10(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t) \)
Это линейное уравнение с одной переменной t. Раскроем скобки в правой части
\(10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t \)
Находим t:
\(t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25. \)
При температуре 25 градусов Цельсия рельс удлинится на 3 мм.
Ответ: 25
