previous arrow
next arrow
Slider

Маттренинги Вариант 7

Первая часть этого варианта полностью составлена из задач из Банка заданий ФИПИ. Любая из них может встретиться вам на экзамене. Во второй части есть незнакомые вам авторские задачи.

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Среди 70000 жителей города 40% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 70% смотрело по телевизору финал чемпионата мира. Сколько жителей города смотрело этот матч?

Посмотреть решение

2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций горно-обогатительного комбината во второй половине октября. 18 октября бизнесмен приобрёл 480 акций этого комбината. Треть своих акций он продал 25 октября, а оставшиеся акции — 27 октября. Сколько рублей составила прибыль бизнесмена в результате этих операций?

Посмотреть решение

3. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Посмотреть решение

5. Найдите корень уравнения \frac{1}{3}x^2=16\frac{1}{3}

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Посмотреть решение

6. На окружности отмечены точки А, В и С. Дуга окружности АС, не содержащая точку В, составляет 191^{\circ}. Дуга окружности ВС, не содержащая точку А, составляет 79^{\circ}. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

7. На рисунке изображён график y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-6; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-4; 4].

Посмотреть решение

8. Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении \frac{7}{8}, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Посмотреть решение

9. Найдите значение выражения

x+\sqrt{x^2-24x+144} при x\le 12.

Посмотреть решение

10. При температуре 0^{\circ}C рельс имеет длину l_{0}=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по законуl(t)=l_0\left ( 1+\alpha \cdot t \right ), где \alpha=1,2 \cdot 10^{-5}- коэффициент теплового расширения, {\rm \ t} — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Посмотреть решение

11. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 400 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 38 секундам. Ответ дайте в метрах.

Посмотреть решение

12. Найдите наименьшее значение функции y={(x+31)}^2e^{-31-x} на отрезке [-34;-30].

Посмотреть решение

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Авторская задача

а) Решите уравнение:

2^{{sin x\ }}\cdot {\cos \frac{x}{3}-2^{{sin x-1\ }}-2{\cos \frac{x}{3}+1=0\ }\ \ }

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[{\rm -}\frac{{\rm 5}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ }\frac{\pi }{{\rm 2}}\right].

Посмотреть решение

14. Авторская задача

В основании пирамиды SABC лежит треугольник АВС со сторонами AC=9, BC=2\sqrt{6}, AB=\sqrt{105}; вершина S проецируется в центр описанной окружности основания.

а) Докажите, что точка S равноудалена от точек А, В и С.

б) Точка Р лежит на ребре SC, точка Q — середина ребра SB, высота пирамиды SABC равна 10. Прямая РQ параллельна плоскости АВС. Найдите объем пирамиды SАРQ.

Посмотреть решение

15. Авторская задача

Решите неравенство: \frac{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm 7}{\rm x}{\rm -}{\rm 12}\right)\ }}{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm x}{\rm -}{\rm 3}\right)\ }}\ge {\rm \ \ }{{\log }_{{\rm 15-}{\rm x}} {\rm \ }\left|{\rm x}{\rm -}{\rm 15}\right|\ }

Посмотреть решение

16. Авторская задача

Окружность с центром О касается большего основания AD и меньшего основания BC трапеции АВСD, а также боковой стороны АВ, центр окружности лежит на диагонали АС.

Прямая ВО пересекает сторону AD в точке М. Точка Е лежит на отрезке ВС, DE — касательная к окружности, DE \parallel BM.

a) Докажите, что ОМ = DM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СDE, если АМ : МD = 2 : 1 и АВ = 10.

Посмотреть решение

17. Фирма производит светильники. Расходы на производство 1 светильника зависят от объема производства и равны 1000 + 2n рублей, где n — число светильников, изготовленных за месяц. Цена светильника также зависит от объема производства и равна 10000 - n рублей. Найдите, при каком объеме производства прибыль максимальна.

Посмотреть решение

18 (ФИПИ) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \frac{x^3+x^2-9\ a^2x-2x+a}{x^3-9\ a^2x}=1 имеет ровно один корень.

Посмотреть решение

19. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; . . . ; 299} хорошим?

б) Является ли множество \left \{ 2; 4; 8; ...;2^{100} \right \} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества \left \{ 1;2;4;5;7;9;11 \right \}

Посмотреть решение

Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор