Задание 15, Вариант 7 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача

Решите неравенство: $\frac{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm 7}{\rm x}{\rm -}{\rm 12}\right) }}{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm x}{\rm -}{\rm 3}\right) }}\ge {\rm }{{\log }_{{\rm 15-}{\rm x}} {\rm }\left|{\rm x}{\rm -}{\rm 15}\right|\ }$

Решение:

По определению модуля,

Мы записали в одну систему и само неравенство, и все условия, задающие его ОДЗ. Раскрыли модуль, учитывая, что $x-15\textless0$ , при этом $\left|x-15\right|=15-x$ .

Рассмотрим два случая. Знаменатель дроби ${{\log }_3 \left(x-3\right)\ }$ может быть положителен или отрицателен. Получим совокупность двух систем:

Перейдем от логарифмических неравенств к алгебраическим. Основание логарифма 3 > 1, и логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает. Это значит, что

${{\log }_3 x_2\ }\ge {{\log }_3 x_1\ }\Longleftrightarrow x_2\ge x_1$