previous arrow
next arrow
Slider

Задание 15, Вариант 7 — разбор решения задачи

Авторская задача

Решите неравенство: \frac{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm 7}{\rm x}{\rm -}{\rm 12}\right) }}{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm x}{\rm -}{\rm 3}\right) }}\ge {\rm }{{\log }_{{\rm 15-}{\rm x}} {\rm }\left|{\rm x}{\rm -}{\rm 15}\right|\ }

Решение:

По определению модуля,

Мы записали в одну систему и само неравенство, и все условия, задающие его ОДЗ. Раскрыли модуль, учитывая, что x-15\textless0, при этом \left|x-15\right|=15-x.

Рассмотрим два случая. Знаменатель дроби {{\log }_3 \left(x-3\right)\ } может быть положителен или отрицателен. Получим совокупность двух систем:

Перейдем от логарифмических неравенств к алгебраическим. Основание логарифма 3 > 1, и логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает. Это значит, что

{{\log }_3 x_2\ }\ge {{\log }_3 x_1\ }\Longleftrightarrow x_2\ge x_1

Получим систему:

Найдем решения системы с помощью числовой прямой.

Ответ: x\in \left(4;14\right)\bigcup (14;15)

Смотреть все задачи варианта