Авторская задача
Решите неравенство: \(\frac{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm 7}{\rm x}{\rm -}{\rm 12}\right) }}{{{\log }_{{\rm 3}} \left({\rm x}{\rm -}{\rm 3}\right) }}\ge {\rm }{{\log }_{{\rm 15-}{\rm x}} {\rm }\left|{\rm x}{\rm -}{\rm 15}\right|\ }
\)
Решение:
По определению модуля,
Мы записали в одну систему и само неравенство, и все условия, задающие его ОДЗ. Раскрыли модуль, учитывая, что \(x-15\textless0\), при этом \(\left|x-15\right|=15-x\).
Рассмотрим два случая. Знаменатель дроби \({{\log }_3 \left(x-3\right)\ }\) может быть положителен или отрицателен. Получим совокупность двух систем:
Перейдем от логарифмических неравенств к алгебраическим. Основание логарифма 3 > 1, и логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает. Это значит, что
\({{\log }_3 x_2\ }\ge {{\log }_3 x_1\ }\Longleftrightarrow x_2\ge x_1\)
Получим систему:
Найдем решения системы с помощью числовой прямой.
Ответ: \(x\in \left(4;14\right)\bigcup (14;15)\)
