(ФИПИ) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{x^3+x^2-9\ a^2x-2x+a}{x^3-9\ a^2x}=1 \) имеет ровно один корень.
Решение:
\(\frac{x^3+x^2-9\ a^2x-2x+a}{x^3-9\ a^2x}=1 \)
Преобразуем уравнение так, как мы делаем с обычными дробно-рациональными уравнениями, не содержащими параметра.
\({{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}\over{x^3-9a^2x}}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+x^2-9a^2x-2x+a=x^3-9a^2x\\ x^3-9a^2\neq0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\left\{\begin{matrix} x^3-9a^2x\neq0 \hfill\\x^2-2x+a=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\left ( x^2-9a^2 \right )\neq 0\\ a=2x-x^2 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0 \hfill\\x\neq 3a \hfill \\x\neq -3a \hfill \\a=2x-x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0\hfill \\a\neq {{x}\over{3}} \hfill \\ a\neq -{{x}\over{3}} \hfill \\ a=2x-x^2 \end{matrix}\right.\)
Решим систему графически в координатах x; a.
Найдем с помощью графика, каким значениям a соответствует ровно одно значение х. Это значит, что исходное уравнение имеет единственное решение.
Это происходит в следующих случаях:
1) Если \(a=0.\) Прямая \(a=0.\) проходит через точку A (0;0), общую для параболы и прямых \(a=-\frac{x}{3}\) и \(a=\frac{x}{3}\). Уравнение имеет единственное решение \(x=2.\)
2) Если горизонтальная прямая проходит через точку B, в которой параболу пересекает прямая \(a=\frac{x}{3}\). Решив систему уравнений
\(\left\{\begin{matrix} a=2x-x^2\\a=\frac{x}{3} \hfill \end{matrix}\right.\)
- найдем, что для точки В значение параметра \(a=\frac{5}{9}\).
3) Если горизонтальная прямая проходит через точку C, в которой параболу пересекает прямая \(a=-\frac{x}{3}\). Решив систему уравнений
\(\left\{\begin{matrix} a=2x-x^2\\a=-\frac{x}{3} \hfill \end{matrix}\right.\)
- найдем, что для точки C значение параметра \(a=-\frac{7}{9}.\)
Если \(a=1.\) Прямая \(a=1\) проходит через точку D(1;1) — вершины параболы — и соответствует единственному решению уравнения \(x=1.\)
Ответ: \(-\frac{7}{9};0;\ \frac{5}{9};1.
\)
