Задание 18, Вариант 7 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

(ФИПИ) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $\frac{x^3+x^2-9\ a^2x-2x+a}{x^3-9\ a^2x}=1$ имеет ровно один корень.

Решение:

$\frac{x^3+x^2-9\ a^2x-2x+a}{x^3-9\ a^2x}=1$

Преобразуем уравнение так, как мы делаем с обычными дробно-рациональными уравнениями, не содержащими параметра.

${{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}\over{x^3-9a^2x}}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+x^2-9a^2x-2x+a=x^3-9a^2x\\ x^3-9a^2\neq0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$
$\left\{\begin{matrix} x^3-9a^2x\neq0 \hfill\\x^2-2x+a=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\left ( x^2-9a^2 \right )\neq 0\\ a=2x-x^2 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0 \hfill\\x\neq 3a \hfill \\x\neq -3a \hfill \\a=2x-x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0\hfill \\a\neq {{x}\over{3}} \hfill \\ a\neq -{{x}\over{3}} \hfill \\ a=2x-x^2 \end{matrix}\right.$

Решим систему графически в координатах x; a.

Найдем с помощью графика, каким значениям a соответствует ровно одно значение х. Это значит, что исходное уравнение имеет единственное решение.

Это происходит в следующих случаях:

1) Если $a=0.$ Прямая $a=0.$ проходит через точку A (0;0), общую для параболы и прямых $a=-\frac{x}{3}$ и $a=\frac{x}{3}$ . Уравнение имеет единственное решение $x=2.$