previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14, Вариант 7 — разбор решения задачи

Авторская задача

В основании пирамиды SABC лежит треугольник АВС со сторонами AC=9, BC=2\sqrt{6}, AB=\sqrt{105}; вершина S проецируется в центр описанной окружности основания.

а) Докажите, что точка S равноудалена от точек А, В и С.

б) Точка Р лежит на ребре SC, точка Q — середина ребра SB, высота пирамиды SABC равна 10. Прямая РQ параллельна плоскости АВС. Найдите объем пирамиды SАРQ.

Решение:

а) Заметим, что {AB}^2={AC}^2+{BC}^2,\ 105 = 81 + 24. Это значит, что \vartriangle ABC — прямоугольный, \angle C=90^{\circ}

Точка O — проекция точки S на плоскость АВС. По условию, точка О - центр описанной окружности \triangle ABC. Тогда O-середина AB, т.к. \vartriangle ABC — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, AO=OB=OC=R.

\vartriangle SOA=\vartriangle SOB=\vartriangle SOC по двум катетам, тогда SA=SB=SC.\

б) Пусть P — середина SC; тогда PQ — средняя линия \vartriangle SBC;

PQ\parallel BC, поэтому PQ\parallel \left(SBC\right) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Пусть h — расстояние от точки А до плоскости SBC.

Пирамиды SAPQ и SABC имеют общую высоту, равную h.

V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\vartriangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot SO=\frac{10}{6}\cdot 9\cdot 2\sqrt{6}=30\sqrt{6}.

С другой стороны, V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\vartriangle SBC}\cdot h.V_{SAPQ}=\frac{1}{3}\cdot S_{\vartriangle SPQ}\cdot h .

Отношение объемов пирамид SABV и SAPQ, имеющих общую высоту, равно отношению их площадей основания.

\frac{V_{SAPQ}}{V_{SABC}}=\frac{S_{\vartriangle SPQ}}{S_{\vartriangle SBC}}

Найдем отношение площадей треугольников SPQ и SBC.
\vartriangle SPQ\sim \vartriangle SBC по 2 углам, k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2};
Тогда
\frac{V_{SAPQ}}{V_{SABC}}=\frac{S_{\vartriangle SPQ}}{S_{\vartriangle SBC}}=k^2=\frac{1}{4};\ \ V_{SAPQ}=\frac{1}{4}V_{SABC}=\frac{30\sqrt{6}}{4}=\frac{15\sqrt{6}}{2}

Ответ: \frac{{\rm 15}\sqrt{{\rm 6}}}{{\rm 2}}

Смотреть все задачи варианта