Авторская задача
В основании пирамиды SABC лежит треугольник АВС со сторонами \(AC=9,\) \(BC=2\sqrt{6}\), \(AB=\sqrt{105}\); вершина S проецируется в центр описанной окружности основания.
а) Докажите, что точка S равноудалена от точек А, В и С.
б) Точка Р лежит на ребре SC, точка Q — середина ребра SB, высота пирамиды SABC равна 10. Прямая РQ параллельна плоскости АВС. Найдите объем пирамиды SАРQ.
Решение:
а) Заметим, что \({AB}^2={AC}^2+{BC}^2,\ \) 105 = 81 + 24. Это значит, что \(\vartriangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C=90^{\circ}\)
Точка O — проекция точки S на плоскость АВС. По условию, точка О - центр описанной окружности \(\triangle ABC\). Тогда O-середина AB, т.к. \(\vartriangle ABC\) — прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, AO=OB=OC=R.
\(\vartriangle SOA=\vartriangle SOB=\vartriangle SOC\) по двум катетам, тогда \( SA=SB=SC.\ \)
б) Пусть P — середина SC; тогда PQ — средняя линия \( \vartriangle SBC; \)
\(PQ\parallel BC\), поэтому \(PQ\parallel \left(SBC\right)\) по признаку параллельности прямой и плоскости.
Пусть h — расстояние от точки А до плоскости SBC.
Пирамиды SAPQ и SABC имеют общую высоту, равную h.
\(V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\vartriangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot SO=\frac{10}{6}\cdot 9\cdot 2\sqrt{6}=30\sqrt{6}. \)
С другой стороны, \(V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\vartriangle SBC}\cdot h.
V_{SAPQ}=\frac{1}{3}\cdot S_{\vartriangle SPQ}\cdot h .\)
Отношение объемов пирамид SABV и SAPQ, имеющих общую высоту, равно отношению их площадей основания.
\(\frac{V_{SAPQ}}{V_{SABC}}=\frac{S_{\vartriangle SPQ}}{S_{\vartriangle SBC}} \)
Найдем отношение площадей треугольников SPQ и SBC.
\(\vartriangle SPQ\sim \vartriangle SBC\) по 2 углам, \(k=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2}; \)
Тогда
\(\frac{V_{SAPQ}}{V_{SABC}}=\frac{S_{\vartriangle SPQ}}{S_{\vartriangle SBC}}=k^2=\frac{1}{4};\ \ V_{SAPQ}=\frac{1}{4}V_{SABC}=\frac{30\sqrt{6}}{4}=\frac{15\sqrt{6}}{2} \)
Ответ: \(\frac{{\rm 15}\sqrt{{\rm 6}}}{{\rm 2}} \)