Найдите наименьшее значение функции \(y={(x+31)}^2e^{-31-x}\) на отрезке \([-34;-30].\)
Решение:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Применим формулу производной произведения.
\(\left ( uv \right )'=u'v+v'u\)
\(y'=2\left ( x+31 \right )\cdot e^{-31-x}-\left ( x+31 \right )^2 \cdot e^{-31-x}=e^{-31-x} \cdot \left ( x+31 \right )\left ( 2-x-31 \right )\)
\(=e^{-31-x}\left ( x+31 \right )\left ( -29-x \right )\)
Множитель \(e^{-31-x}\ \) всегда положителен. Найдем, при каких \(x\) производная равна нулю.
\(\left(x+31\right)\left(-29-x\right)=0 \)
В точке \(x= - 31\) производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, \(x=-31\) — точка минимума функции \(y(x)\) на отрезке \([-34;-30]\). Так как функция \(y(x)\) убывает при \(-34\leq x\leq -31\) и возрастает при \(-31\leq x\leq -30\), наименьшее значение функции на отрезке \([-34;-30]\) достигается при \(x = - 31.\)
Подставив \(x = - 31\) в формулу функции \(y={(x+31)}^2e^{-31-x}\), найдем \(y\left(-31\right)=0.
\)
Ответ: 0
