Задание 17, Вариант 7 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Фирма производит светильники. Расходы на производство 1 светильника зависят от объема производства и равны 1000 + 2n рублей, где n — число светильников, изготовленных за месяц. Цена светильника также зависит от объема производства и равна 10000 - n рублей. Найдите, при каком объеме производства прибыль максимальна.

Решение:

Пусть n — количество светильников, проданных за месяц. Прибыль от продажи n светильников за месяц

$Z\left(n\right)=\left(1000+2n-10000+n\right)\cdot n=\left(3n-9000\right)\cdot n=3n^2-9000 \cdot n$ рублей.

Рассмотрим функцию от действительного аргумента Z(x), такую, что Z(x) совпадает с Z(n) при натуральных x. Это нужно для того, чтобы найти наибольшее значение $Z\left(n\right)$ . Как мы знаем, производную можно брать только от непрерывной функции. $Z\left(n\right)$ — функция натурального аргумента, а $Z\left(x\right)$ непрерывна.

$Z\left(x\right)=\left(3x-9000\right)x;\ \ x\ge 0;\ \ x\in [0;+\infty )$

$Z$

Приравняем производную функции ${\rm Z}\left({\rm x}\right)$ к нулю, чтобы найти точку максимума.

$Z$ . Найдем знаки ${\rm Z}{\rm$

При x = 1500 производная меняет знак с «+» на «минус», значит, x=1500 — точка максимума. Тогда n=1500.

Есть и другой способ решения, без применения производной.

$y=Z\left(x\right)=\left(9000-3x\right)x=9000x-3x^2$ . Это квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы:

$x_0=\frac{9000}{6}=1500$

Ответ: 1500

Смотреть все задачи варианта

Задание 17, Вариант 7 — разбор решения задачи

Это полезно