Фирма производит светильники. Расходы на производство 1 светильника зависят от объема производства и равны 1000 + 2n рублей, где n — число светильников, изготовленных за месяц. Цена светильника также зависит от объема производства и равна 10000 - n рублей. Найдите, при каком объеме производства прибыль максимальна.
Решение:
Пусть n — количество светильников, проданных за месяц. Прибыль от продажи n светильников за месяц
рублей.
Рассмотрим функцию от действительного аргумента Z(x), такую, что Z(x) совпадает с Z(n) при натуральных x. Это нужно для того, чтобы найти наибольшее значение. Как мы знаем, производную можно брать только от непрерывной функции.
— функция натурального аргумента, а
непрерывна.
Приравняем производную функции к нулю, чтобы найти точку максимума.
. Найдем знаки
При x = 1500 производная меняет знак с «+» на «минус», значит, x=1500 — точка максимума. Тогда n=1500.
Есть и другой способ решения, без применения производной.
. Это квадратичная парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы:
Ответ: 1500