Slider

Решение. Задание 19, Вариант 7

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; . . . ; 299} хорошим?

б) Является ли множество { 2; 4; 8; ...;2^{100}} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества 1;2;4;5;7;9;11

Решение:

а) Заметим, что числа 200, 201\dots 299 образуют арифметическую прогрессию.

Множество A = \{200, 201, . . . , 299\} можно разбить на 50 пар с равной суммой чисел в каждой паре:

(200, 299), (201, 298), . . . , (249, 250).

Числа из первых 25 пар пусть образуют множество A_1, остальные числа — множество A_2. Тогда A = A_1 \cup A_2, причём суммы чисел в подмножествах A_1 и A_2 равны. Следовательно, A - хорошее множество.

б) Первый способ. Заметим, что все числа множества B = \{2, 4, 8, . . . , 2^{100}\}, кроме 2, делятся на 4. Разобьём множество B на два каких-либо подмножества. Будем считать, что число 2 находится во втором подмножестве. Тогда сумма чисел первого подмножества делится на 4, а сумма чисел второго — нет, и эти суммы не могут быть равны. Значит, множество B не является хорошим.

Второй способ. Разобьём множество B на два каких-либо подмножества. Будем считать, что число 2^{100} находится в первом подмножестве. Тогда сумма чисел первого подмножества не меньше, чем 2^{100}, а сумма чисел второго подмножества не больше, чем

2 + 4 + . . . + 2^{99} = 2^{100} - 2

Значит, суммы чисел в обоих подмножествах не могут быть равны, и поэтому множество B не является хорошим.

в) Множество не может быть хорошим, если сумма его чисел нечётна. Поэтому для того чтобы множество было хорошим, необходимо, чтобы оно содержало чётное количество нечётных чисел. Тогда сумма его чисел четна.

Хорошее четырёхэлементное подмножество множества M = \{1, 2, 4, 5, 7, 9, 11\} может содержать ровно два или четыре нечётных числа.

Значит, нам надо выбрать два числа из пяти нечётных или 4 числа из пяти нечетных.

Если вы знакомы с комбинаторикой, вы знаете, что два числа из 5 нечетных можно выбрать C^2_5=10 способами.

Можно сделать это и без применения формул комбинаторики, перебором вариантов. Выпишем все возможные варианты, то есть подмножества. Всего получится десять подмножеств:

A_1 = \{1, 2, 4, 5\}; A_6 = \{2, 4, 5, 9\};

A_2 = \{1, 2, 4, 7\}; A_7 = \{2, 4, 5, 11\};

A_3 = \{1, 2, 4, 9\}; A_8 = \{2, 4, 7, 9\};

A_4 = \{1, 2, 4, 11\}; A_9 = \{2, 4, 7, 11\};

A_5 = \{2, 4, 5, 7\}; A_{10} = \{2, 4, 9, 11\}.

Проверка показывает, что хорошими являются только шесть из них: A_1, A_2, A_5, A_7, A_8 и A_{10}.

Обратите внимание, что перебор вариантов — не хаотичный, а упорядоченный.

Четыре числа из пяти нечётных можно выбрать C^4_5=5 способами. Или, если не знакомы с комбинаторикой, просто выписать возможные подмножества. Всего 5 подмножеств:

B_1 = \{1, 5, 7, 9\};

B_2 = \{1, 5, 7, 11\};

B_3 = \{1, 5, 9, 11\};

B_4 = \{1, 7, 9, 11\};

B_5 = \{5, 7, 9, 11\}.

Хорошими являются только два из них: B_2 и B_5.

Получили, что множество M имеет 8 хороших четырёхэлементных подмножеств.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Смотреть все задачи варианта

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.