previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 7 — разбор решения задачи

Авторская задача

Окружность с центром О касается большего основания AD и меньшего основания BC трапеции АВСD, а также боковой стороны АВ, центр окружности лежит на диагонали АС.

Прямая ВО пересекает сторону AD в точке М. Точка Е лежит на отрезке ВС, DE — касательная к окружности, DE \parallel BM.

a) Докажите, что ОМ = DM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СDE, если АМ : МD = 2 : 1 и АВ = 10.

Решение:

а) Докажем, что OM=DM.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, и значит, AO — биссектриса \angle BAD и ВО — биссектриса \angle ABC.

O=AO\bigcap BO.

\angle {\rm B}{\rm AC}{\rm =}\angle {\rm CAD}, также \angle CAD = \angle ACB как накрест лежащие. Тогда
\vartriangle ABC — равнобедренный; AB=BC.
В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому BO\bot AC.

\vartriangle BAM — равнобедренный, поскольку в нем AO — биссектриса и высота.

Заметим, что MBED — параллелограмм, в нем MD\parallel BE и \ BM\parallel DE.

Пусть AB=BC=AM=x, \ BM=z; \ MD=BE=y.

{\rm ABED} — трапеция, описанная вокруг окружности. По свойству описанного четырехугольника, AD+BE=AB+DE.

Это значит, что x+2y=x+z,  отсюда z=2y; \ BM=2DM, \ OM=DM.

б) Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, если AM:MD=2:1,\ AB=AM=BC=10.

В пункте (а) мы обозначили

AB=BC=AM=x,\ BM=z;\ MD=BE=y .

Получим:

x=2y=10=z,\ y=5.

Тогда в \vartriangle ABO\ sinA=\frac{y}{x}=\frac{1}{2} и \angle A={30}^{\circ}.

ABED — равнобедренная трапеция, AB = DE = 10,
\angle BED=120^{\circ} ,\ \ \angle CED=180^{\circ} -120^{\circ} =60^{\circ} .

Рассмотрим \vartriangle CED:

{\rm ED}{\rm =10,\ \ }{\rm EC}{\rm =}{\rm x}{\rm -}{\rm y}{\rm =5.}

По теореме косинусов из \vartriangle CED найдём {CD}^2={EC}^2+{ED}^2-2EC\cdot ED\cdot cos{60}^{\circ }

Получим, что {CD}^2=75, CD=5\sqrt{3}.

Заметим, что \vartriangle CDE — прямоугольный, \angle C = 90^{\circ}.

Действительно, {DE}^2={EC}^2+{CD}^2,\ \ \ 100=25+75.

Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, по формуле r=\frac{a+b-c}{2}.

Получим: r=\frac{5\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}.

Ответ: \frac{{\rm 5}\left(\sqrt{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 1}\right)}{{\rm 2}}.

Смотреть все задачи варианта