Авторская задача
Окружность с центром О касается большего основания AD и меньшего основания BC трапеции АВСD, а также боковой стороны АВ, центр окружности лежит на диагонали АС.
Прямая ВО пересекает сторону AD в точке М. Точка Е лежит на отрезке ВС, DE — касательная к окружности, \(DE \parallel BM\).
a) Докажите, что ОМ = DM.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СDE, если АМ : МD = 2 : 1 и АВ = 10.
Решение:
а) Докажем, что OM=DM.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, и значит, AO — биссектриса \(\angle BAD\) и ВО — биссектриса \(\angle ABC. \)
\(O=AO\bigcap BO. \)
\(\angle {\rm B}{\rm AC}{\rm =}\angle {\rm CAD},\) также \(\angle CAD = \angle ACB\) как накрест лежащие. Тогда
\(\vartriangle ABC\) — равнобедренный; \( AB=BC. \)
В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому \(BO\bot AC\).
\(\vartriangle BAM\) — равнобедренный, поскольку в нем AO — биссектриса и высота.
Заметим, что MBED — параллелограмм, в нем \(MD\parallel BE\) и \(\ BM\parallel DE\).
Пусть \(AB=BC=AM=x, \ BM=z; \ MD=BE=y.\)
\({\rm ABED}\) — трапеция, описанная вокруг окружности. По свойству описанного четырехугольника, \(AD+BE=AB+DE.\)
Это значит, что \( x+2y=x+z,\) отсюда \( z=2y; \ BM=2DM, \ OM=DM.\)
б) Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, если \( AM:MD=2:1,\ AB=AM=BC=10.\)
В пункте (а) мы обозначили
\( AB=BC=AM=x,\ BM=z;\ MD=BE=y \).
Получим:
\(x=2y=10=z,\ y=5. \)
Тогда в \(\vartriangle ABO\ sinA=\frac{y}{x}=\frac{1}{2} \) и \(\angle A={30}^{\circ}\).
ABED — равнобедренная трапеция, AB = DE = 10,
\(\angle BED=120^{\circ} ,\ \ \angle CED=180^{\circ} -120^{\circ} =60^{\circ} . \)
Рассмотрим \(\vartriangle CED:\)
\({\rm ED}{\rm =10,\ \ }{\rm EC}{\rm =}{\rm x}{\rm -}{\rm y}{\rm =5.}\)
По теореме косинусов из \( \vartriangle CED\) найдём \({CD}^2={EC}^2+{ED}^2-2EC\cdot ED\cdot cos{60}^{\circ }\)
Получим, что \({CD}^2=75, CD=5\sqrt{3}.\)
Заметим, что \(\vartriangle CDE\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^{\circ}\).
Действительно, \({DE}^2={EC}^2+{CD}^2,\ \ \ 100=25+75.\)
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, по формуле \(r=\frac{a+b-c}{2}.\)
Получим: \(r=\frac{5\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\).
Ответ: \(\frac{{\rm 5}\left(\sqrt{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 1}\right)}{{\rm 2}}.\)
