Задание 16, Вариант 7 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача

Окружность с центром О касается большего основания AD и меньшего основания BC трапеции АВСD, а также боковой стороны АВ, центр окружности лежит на диагонали АС.

Прямая ВО пересекает сторону AD в точке М. Точка Е лежит на отрезке ВС, DE — касательная к окружности, $DE \parallel BM$ .

a) Докажите, что ОМ = DM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СDE, если АМ : МD = 2 : 1 и АВ = 10.

Решение:

а) Докажем, что OM=DM.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, и значит, AO — биссектриса $\angle BAD$ и ВО — биссектриса $\angle ABC.$

$O=AO\bigcap BO.$

$\angle {\rm B}{\rm AC}{\rm =}\angle {\rm CAD},$ также $\angle CAD = \angle ACB$ как накрест лежащие. Тогда
$\vartriangle ABC$ — равнобедренный; $AB=BC.$
В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому $BO\bot AC$ .

$\vartriangle BAM$ — равнобедренный, поскольку в нем AO — биссектриса и высота.

Заметим, что MBED — параллелограмм, в нем $MD\parallel BE$ и $\ BM\parallel DE$ .

Пусть $AB=BC=AM=x, \ BM=z; \ MD=BE=y.$

${\rm ABED}$ — трапеция, описанная вокруг окружности. По свойству описанного четырехугольника, $AD+BE=AB+DE.$

Это значит, что $x+2y=x+z,$ отсюда $z=2y; \ BM=2DM, \ OM=DM.$

б) Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, если $AM:MD=2:1,\ AB=AM=BC=10.$

В пункте (а) мы обозначили

$AB=BC=AM=x,\ BM=z;\ MD=BE=y$ .

Получим:

$x=2y=10=z,\ y=5.$

Тогда в $\vartriangle ABO\ sinA=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$ и $\angle A={30}^{\circ}$ .

ABED — равнобедренная трапеция, AB = DE = 10,
$\angle BED=120^{\circ} ,\ \ \angle CED=180^{\circ} -120^{\circ} =60^{\circ} .$

Рассмотрим $\vartriangle CED:$

${\rm ED}{\rm =10,\ \ }{\rm EC}{\rm =}{\rm x}{\rm -}{\rm y}{\rm =5.}$

По теореме косинусов из $\vartriangle CED$ найдём ${CD}^2={EC}^2+{ED}^2-2EC\cdot ED\cdot cos{60}^{\circ }$

Получим, что ${CD}^2=75, CD=5\sqrt{3}.$

Заметим, что $\vartriangle CDE$ — прямоугольный, $\angle C = 90^{\circ}$ .

Действительно, ${DE}^2={EC}^2+{CD}^2,\ \ \ 100=25+75.$

Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, по формуле $r=\frac{a+b-c}{2}.$

Получим: $r=\frac{5\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$ .

Ответ: $\frac{{\rm 5}\left(\sqrt{{\rm 3}}{\rm -}{\rm 1}\right)}{{\rm 2}}.$

Смотреть все задачи варианта

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 7 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 20.09.2023

Задание 16, Вариант 7 — разбор решения задачи

Это полезно