Авторская задача
Окружность с центром О касается большего основания AD и меньшего основания BC трапеции АВСD, а также боковой стороны АВ, центр окружности лежит на диагонали АС.
Прямая ВО пересекает сторону AD в точке М. Точка Е лежит на отрезке ВС, DE — касательная к окружности, .
a) Докажите, что ОМ = DM.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СDE, если АМ : МD = 2 : 1 и АВ = 10.
Решение:
а) Докажем, что OM=DM.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, и значит, AO — биссектриса и ВО — биссектриса
также
как накрест лежащие. Тогда
— равнобедренный;
В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому .
— равнобедренный, поскольку в нем AO — биссектриса и высота.
Заметим, что MBED — параллелограмм, в нем и
.
Пусть
— трапеция, описанная вокруг окружности. По свойству описанного четырехугольника,
Это значит, что отсюда
б) Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, если
В пункте (а) мы обозначили
.
Получим:
Тогда в и
.
ABED — равнобедренная трапеция, AB = DE = 10,
Рассмотрим
По теореме косинусов из найдём
Получим, что
Заметим, что — прямоугольный,
.
Действительно,
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник CDE, по формуле
Получим: .
Ответ:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 7 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 20.09.2023