Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении \(\frac{7}{8}\), считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Решение:
Обозначим вершины пирамиды: SABC. Пусть плоскость АВМ делит ребро SC на отрезки 7x и 8x.
Опустим перпендикуляры из точек S и М на плоскость основания пирамиды. Через две параллельные прямые SO и \({MM}_1\) можно провести единственную плоскость SOC. Треугольники SOC и \({MM}_1C\), лежащие в этой плоскости, подобны по двум углам.
\(\vartriangle {MM}_1C\sim \vartriangle SOC\)
\(\frac{{MM}_1}{SO}=\frac{MC}{SC}=\frac{8x}{15x}=\frac{8}{15} \)
Отрезок \({MM}_1\) — высота пирамиды АВСМ.
Получим: \(h_{ABCM}={MM}_1=\frac{8}{15}SO
\)
Пирамиды SABC и АВСМ имеют равное основание АВС, и отношение их объемов равно отношению высот.
\(V_{ABCM}=\frac{8}{15}V_{SABC}=\frac{8}{15}\cdot 30=16 \)
Ответ: 16.
