previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 7 — разбор решения задачи

Авторская задача

а) Решите уравнение:

2^{{sin x\ }}\cdot {\cos \frac{x}{3}-2^{{sin x-1\ }}-2{\cos \frac{x}{3}+1=0\ }\ \ }

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[{\rm -}\frac{{\rm 5}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ }\frac{\pi }{{\rm 2}}\right].

Решение:

2^{sinx}\cdot cos\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\cdot 2^{sinx}-2cos\frac{x}{3}+1=0

Сделаем замену:

2^{sinx}=t, \, \, cos\frac{x}{3}=z,\, \, \, \left | z \right |\leq 1.

Получим:

t\cdot z-\frac{1}{2}t-2z+1=0

Разложим левую часть уравнения на множители.
z\left ( t-2 \right )-\frac{1}{2}\left ( t-2 \right )=0
\left ( t-2 \right )\left ( z-\frac{1}{2} \right )=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \ t=2 \\ z=\frac{1}{2} \end{gathered} \right.

Вернемся к переменной x.

\left[ \begin{gathered} \ 2^{sinx}=2 \\ cos\frac{x}{3}=\frac{1}{2} \end{gathered} \right. ; отсюда \left[ \begin{gathered} \ sinx=1 \\ cos\frac{x}{3}=\frac{1}{2} \end{gathered} \right. ;

\left[ \begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n,\ \ n\in Z \\x= \pi +6 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}\right..

Мы нашли решения уравнения.

б) Найдем корни уравнения на отрезке \left[-\frac{5 \pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right].\

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[-\frac{5 \pi }{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\ и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки -\frac{3 \pi}{2};\ -\pi;\ \ \frac{\pi}{2}.

Ответ:

а) \left[ \begin{array}{c}x=\frac{ \pi}{2}+2 \pi n,\ \ n\in Z \\x= \pi +6 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}\right..

б) -\frac{3 \pi}{2};\ - \pi;\ \ \frac{\pi}{2}.

Смотреть все задачи варианта