Авторская задача
а) Решите уравнение:
\(2^{{sin x\ }}\cdot {\cos \frac{x}{3}-2^{{sin x-1\ }}-2{\cos \frac{x}{3}+1=0\ }\ \ } \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[{\rm -}\frac{{\rm 5}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ }\frac{\pi }{{\rm 2}}\right].\)
Решение:
\(2^{sinx}\cdot cos\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\cdot 2^{sinx}-2cos\frac{x}{3}+1=0 \)
Сделаем замену:
\(2^{sinx}=t, \, \, cos\frac{x}{3}=z,\, \, \, \left | z \right |\leq 1.\)
Получим:
\(t\cdot z-\frac{1}{2}t-2z+1=0 \)
Разложим левую часть уравнения на множители.
\(z\left ( t-2 \right )-\frac{1}{2}\left ( t-2 \right )=0\)
\(\left ( t-2 \right )\left ( z-\frac{1}{2} \right )=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \ t=2 \\ z=\frac{1}{2} \end{gathered} \right.\)
Вернемся к переменной x.
\(\left[ \begin{gathered} \ 2^{sinx}=2 \\ cos\frac{x}{3}=\frac{1}{2} \end{gathered} \right. ;\) отсюда \(\left[ \begin{gathered} \ sinx=1 \\ cos\frac{x}{3}=\frac{1}{2} \end{gathered} \right. ;\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n,\ \ n\in Z \\
x= \pi +6 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}
\right.\).
Мы нашли решения уравнения.
б) Найдем корни уравнения на отрезке \(\left[-\frac{5 \pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right].\
\)
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\left[-\frac{5 \pi }{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\ \) и найденные серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(-\frac{3 \pi}{2};\ -\pi;\ \ \frac{\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(\left[ \begin{array}{c}
x=\frac{ \pi}{2}+2 \pi n,\ \ n\in Z \\
x= \pi +6 \pi k,\ \ k\in Z \end{array}
\right.. \)
б) \(-\frac{3 \pi}{2};\ - \pi;\ \ \frac{\pi}{2}.\)
