Найдите наибольшее значение функции
\(y=16cosx-\frac{102}{\pi}x+41\) на отрезке \([-\frac{2\pi}{3}; 0]\).
Решение:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
\(y'=-16sinx-\frac{102}{\pi} \)
\(y'=0 \)
\(-16sinx=\frac{102}{\pi} \)
\(sinx=-\frac{102}{16\pi} \textless -1\).
Это значит, что уравнение \(sinx=-\frac{102}{16\pi}\) не имеет решений и производная не равна нулю ни при каких значениях х.
Чтобы найти знак производной, подставим в формулу для производной \(y'=-16sinx-\frac{102}{\pi}\) любое значение х. Например, х = 0. Получим, что \(y' \textless 0.\)
Это значит, что \(y(x)\) убывает при всех х, в том числе и на отрезке \([- \frac{2\pi}{3}0]\). Наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, то есть при \(x = -\frac{2 \pi}{3}\).
\(y_{max}=y\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{16}{2}+\frac{102}{\pi}\cdot \frac{2\pi}{3}+41=68-8+41=60+41=101 \)
Ответ: 101.
