Найдите точку минимума функции \(y={(x-17)}^2e^{x-3}\).
Решение:
По формуле производной произведения, \(\left(u\cdot v\right)'=u'v+v'u.\)
\(y'=2\left(x-17\right)\cdot e^{x-3}+e^{x-3}{\left(x-17\right)}^2=e^{x-3}(\left(x-17\right)\cdot 2+(x-17)^2)=e^{x-3}(x-17)(x-15).\)
Приравняем производную к нулю.
\(y'=0;\ \ \ \left(x-17\right)\left(x-15\right)=0\).
Корни этого уравнения: \(x_1=15,\ \ x_2=17.\)
При \(x=17\) производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, \(x=17\) - точка минимума функции \(y(x).\)
Ответ: 17.
