Первая часть этого варианта полностью составлена из задач из Банка заданий ФИПИ. Любая из них может встретиться вам на экзамене. Во второй части есть незнакомые вам авторские задачи.
Часть 1. Задания с кратким ответом.
1. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.
Определите по рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.
3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
4. При изготовлении подшипников диаметром 76 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,983. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 75,99 мм или больше чем 76,01 мм.
5. Решите уравнение \(\sqrt{12+x}=x.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
6. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(82+41\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
7. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0.\)
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 
воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в 
9. Найдите \(\frac{3sin6\alpha}{5cos3\alpha}\), если \(sin3\alpha=-0,5\)
10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left(t\right)=at^2+bt+H_0,\) где \(H_0 = 8\) м — начальный уровень воды, 
и 
— постоянные, \(t\) — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
11. Федору надо решить 133 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Федор решил 7 задач. Определите, сколько задач решил Федор в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.
12. Найдите точку минимума функции \(y={(x-17)}^2e^{x-3}\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
13. Авторская задача
а) Решите уравнение \(\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0.}\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]\).
14. Авторская задача Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра SA. Точки М и N делят ребра SB и SC соответственно в отношении 1:2, считая от вершины S.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNP имеет пару параллельных сторон.
б) Найдите площадь сечения, если пирамида SАВСD - правильная, АВ = 6, угол ASD равен 60 градусов.
15. Решите неравенство:
\(\frac{{{\log }_3 (1-2x-x^2)\ }}{{{\log }_{3-\sqrt{5}} (x+1+\sqrt{2})\ }}\ge 0\)
16. Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.
17. В начале марта 2017 года клиент обратился в банк за кредитом. Условия кредитования следующие:
Срок полного погашения кредита 9 месяцев.
1-го числа каждого месяца (начиная с апреля) сумма долга увеличивается на 2%.
Со 2-го по 14-е число каждого месяца, начиная с апреля, клиент обязан выплатить часть долга,
- Сумма долга на 15-е число каждого месяца должна быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в период со 2 по 14 августа клиент обязан выплатить банку 44 тысячи рублей. Найдите общую сумму, которую клиент выплатит банку на таких условиях.
18. Авторская задача При каком значении параметра a система
\(\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ (1) \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \ (2)\)
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
19. Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор
Часть 1. Задания с кратким ответом.
1. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.
Определите по рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.
3. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
4. При изготовлении подшипников диаметром 76 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,983. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 75,99 мм или больше чем 76,01 мм.
5. Решите уравнение \(\sqrt{12+x}=x.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
6. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(82+41\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
7. На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0.\)
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в
9. Найдите \(\frac{3sin6\alpha}{5cos3\alpha}\), если \(sin3\alpha=-0,5\)
10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left(t\right)=at^2+bt+H_0,\) где \(H_0 = 8\) м — начальный уровень воды, и — постоянные, \(t\) — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
11. Федору надо решить 133 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Федор решил 7 задач. Определите, сколько задач решил Федор в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.
12. Найдите точку минимума функции \(y={(x-17)}^2e^{x-3}\).
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
13. Авторская задача
а) Решите уравнение \(\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0.}\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]\).
14. Авторская задача Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра SA. Точки М и N делят ребра SB и SC соответственно в отношении 1:2, считая от вершины S.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNP имеет пару параллельных сторон.
б) Найдите площадь сечения, если пирамида SАВСD - правильная, АВ = 6, угол ASD равен 60 градусов.
15. Решите неравенство:
\(\frac{{{\log }_3 (1-2x-x^2)\ }}{{{\log }_{3-\sqrt{5}} (x+1+\sqrt{2})\ }}\ge 0\)
16. Авторская задача. Окружность, касающаяся сторон АВ и ВС треугольника АВС, пересекает сторону АС в точках М и Р, причем АМ = МР = РС
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если АС = 21, а центр окружности лежит на высоте к стороне ВС.
17. В начале марта 2017 года клиент обратился в банк за кредитом. Условия кредитования следующие:
Срок полного погашения кредита 9 месяцев.
1-го числа каждого месяца (начиная с апреля) сумма долга увеличивается на 2%.
Со 2-го по 14-е число каждого месяца, начиная с апреля, клиент обязан выплатить часть долга,
- Сумма долга на 15-е число каждого месяца должна быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в период со 2 по 14 августа клиент обязан выплатить банку 44 тысячи рублей. Найдите общую сумму, которую клиент выплатит банку на таких условиях.
18. Авторская задача При каком значении параметра a система
\(\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ (1) \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \ (2)\)
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
19. Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор
