Задание 18, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача При каком значении параметра a система
$\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \$

имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.

Решение:

$\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ (1) \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \ (2)$

Спокойно, не пугаемся. Очевидно, эту систему надо решать графически в системе координат Х; Y. Заметим, что уравнение (2) этой системы очень похоже на уравнение отрезка. Может быть, это и есть отрезок?

Вспомним, что уравнение отрезка [АВ], концы которого — точки $A\ (x_{A\ }; y_{A\ })$
и $B\ (x_{B\ }; y_{B\ })$ имеет вид:
$\sqrt{{(x-x_{A\ })}^2+{(y-y_{A\ })}^2}+\sqrt{{(x-x_{B\ })}^2+{(y-y_{B\ })}^2}=\sqrt{{(x_{B\ }-x_{A\ })}^2+{(y_{B\ }-y_{A\ })}^2}$
В левой части этого длинного уравнения - сумма расстояний от точки M с координатами $(x;y)$ до точек $A\ (x_{A\ }; y_{A\ })$ и $B\ (x_{B\ }; y_{B\ })$ . В правой — расстояние между точками А и В.

Пара чисел (х;у) соответствует координатам любой точки этого отрезка.

Кратко это можно записать: $|AM|+\left|BM\right|=|AB|$ , и это значит, что точка M лежит на отрезке [AB].

В нашем случае точки А и В имеют координаты: $A(1;\ a); B(5; \ a)$ . Расстояние между этими точками равно 4. Да! Первое уравнение задает отрезок AB. Ордината точек А и В равна параметру a. Можно сказать, что это отрезок длины 4, который, в зависимости от параметра a, может быть расположен выше или ниже на координатной плоскости.

Разберемся с неравенством (1).

Уравнение $y=\sqrt{R^2-{\left(x-a\right)}^2}+b$ задает верхнюю полуокружность, центр которой — в точке с координатами (a;b), а радиус равен |R|.

Значит, неравенство (1) задает область, ограниченную прямой y=2 и полуокружностью $y=\sqrt{4-{(x-3)}^2}+2$ c центром в точке P(3;2) и радиусом равным 2.

Решим уравнения ${\sin \pi x\ }=0$ и ${\sin \pi y\ }=0$ .

Решения первого уравнения: x=n.

Решения второго уравнения: y=k, где k и n — целые.

Следовательно, уравнения ${\sin \pi x\ }=0$ и ${\sin \pi y\ }=0$ задают бесконечное множество точек, обе координаты которых — целые числа.

Решим систему графически.

Если a=2, система имеет наибольшее число решений, а именно 5.

Они соответствуют точкам A(1;2); К(2;2); Р(3;2); N (4;2) и В (5;2)

Ответ: a = 2.

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 18, Вариант 4 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 25.03.2023

Задание 18, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно