Авторская задача При каком значении параметра a система
\(\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \ \)
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
Решение:
\(\left\{ \begin{array}{c} 2\le y\le \ 2+\sqrt{6x\ -\ x^2-5\ } \hfill \ \ \ (1) \\ \sqrt{{(x-1)}^2+{(y-a)}^2}+\sqrt{{(x-5)}^2+{(y-a)}^2}=4 \\ {\sin \pi x\ }=0 \hfill \\ {\sin \pi y\ }=0 \hfill \end{array} \right.\ \ (2)\)
Спокойно, не пугаемся. Очевидно, эту систему надо решать графически в системе координат Х; Y. Заметим, что уравнение (2) этой системы очень похоже на уравнение отрезка. Может быть, это и есть отрезок?
Вспомним, что уравнение отрезка [АВ], концы которого — точки \(A\ (x_{A\ }; y_{A\ })\)
и \(B\ (x_{B\ }; y_{B\ })\) имеет вид:
\(\sqrt{{(x-x_{A\ })}^2+{(y-y_{A\ })}^2}+\sqrt{{(x-x_{B\ })}^2+{(y-y_{B\ })}^2}=\sqrt{{(x_{B\ }-x_{A\ })}^2+{(y_{B\ }-y_{A\ })}^2}\)
В левой части этого длинного уравнения - сумма расстояний от точки M с координатами \((x;y)\) до точек \(A\ (x_{A\ }; y_{A\ })\) и \(B\ (x_{B\ }; y_{B\ })\). В правой — расстояние между точками А и В.
Пара чисел (х;у) соответствует координатам любой точки этого отрезка.
Кратко это можно записать: \(|AM|+\left|BM\right|=|AB|\), и это значит, что точка M лежит на отрезке [AB].
В нашем случае точки А и В имеют координаты: \(A(1;\ a); B(5; \ a)\). Расстояние между этими точками равно 4. Да! Первое уравнение задает отрезок AB. Ордината точек А и В равна параметру a. Можно сказать, что это отрезок длины 4, который, в зависимости от параметра a, может быть расположен выше или ниже на координатной плоскости.
Разберемся с неравенством (1).
Уравнение \(y=\sqrt{R^2-{\left(x-a\right)}^2}+b\) задает верхнюю полуокружность, центр которой — в точке с координатами (a;b), а радиус равен |R|.
Значит, неравенство (1) задает область, ограниченную прямой y=2 и полуокружностью \(y=\sqrt{4-{(x-3)}^2}+2\) c центром в точке P(3;2) и радиусом равным 2.
Решим уравнения \({\sin \pi x\ }=0\) и \({\sin \pi y\ }=0\).
Решения первого уравнения: x=n.
Решения второго уравнения: y=k, где k и n — целые.
Следовательно, уравнения \({\sin \pi x\ }=0\) и \({\sin \pi y\ }=0\) задают бесконечное множество точек, обе координаты которых — целые числа.
Решим систему графически.
Если a=2, система имеет наибольшее число решений, а именно 5.
Они соответствуют точкам A(1;2); К(2;2); Р(3;2); N (4;2) и В (5;2)
Ответ: a = 2.
