Задание 14, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра SA. Точки М и N делят ребра SB и SC соответственно в отношении 1:2, считая от вершины S.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNP имеет пару параллельных сторон.

б) Найдите площадь сечения, если пирамида SАВСD — правильная, АВ = 6, угол ASD равен 60 градусов.

Решение:

а) Заметим на чертеже подобные треугольники.

$\vartriangle SMN\sim \vartriangle SBC$ по углу и двум прилежащим к нему сторонам, значит, $\angle SMN=\angle SBC$ и $MN\parallel BC.$ . Пусть $\alpha \cap (PMN)$ — плоскость сечения.

$MN||AD\Rightarrow MN\parallel (SAD)$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Пусть $\alpha\cap \left(SAD\right)=PQ$ . Покажем, что $PQ\parallel MN.$

по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.

Следовательно, четырехугольник PMNQ имеет пару параллельных сторон и является трапецией.

б) Пирамида SABCD — правильная, $AB=6,\ \ \angle ASD=60{}^\circ$ . Найдем $S_{PMNQ}$ .

Так как $\angle ASD=60{}^\circ$ , боковые грани пирамиды — правильные треугольники.

$\vartriangle SMN\sim \vartriangle SBC,\ \ \vartriangle SPQ\sim \vartriangle SAD\textit{, }$ отсюда $PQ=\frac{1}{2}AD=3, MN=\frac{1}{3}BC=2.$

$\vartriangle SMP=\vartriangle SNQ$ , значит, MP=NQ. (по углу и двум сторонам)

Найдем MP по теореме косинусов из треугольника SMP.
$MP^2=SP^2+SM^2-2SM\cdot SP\cdot cos\angle PSM;$
$MP^2=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot cos60{}^\circ ;$
$MP=\sqrt{7}=NQ; MNQP$ — равнобедренная трапеция.

Чтобы найти $S_{MNQP}$ , нарисуем плоский чертеж.

Проведем $NH\bot PQ. NH$ — высота трапеции, $NH=\sqrt{NQ^2-HN^2}=\sqrt{7-{\left(\frac{3-2}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$
$S_{MNQP}=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{2+3}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}.$

Ответ:

б) $\frac{15\sqrt{3}}{4}$

Смотреть все задачи варианта

Задание 14, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно