Авторская задача Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра SA. Точки М и N делят ребра SB и SC соответственно в отношении 1:2, считая от вершины S.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNP имеет пару параллельных сторон.
б) Найдите площадь сечения, если пирамида SАВСD — правильная, АВ = 6, угол ASD равен 60 градусов.
Решение:
а) Заметим на чертеже подобные треугольники.
по углу и двум прилежащим к нему сторонам, значит,
и
. Пусть
— плоскость сечения.
по признаку параллельности прямой и плоскости.
Пусть . Покажем, что
по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.
Следовательно, четырехугольник PMNQ имеет пару параллельных сторон и является трапецией.
б) Пирамида SABCD — правильная, . Найдем
.
Так как , боковые грани пирамиды — правильные треугольники.
отсюда
, значит, MP=NQ. (по углу и двум сторонам)
Найдем MP по теореме косинусов из треугольника SMP.
— равнобедренная трапеция.
Чтобы найти , нарисуем плоский чертеж.
Проведем — высота трапеции,
Ответ:
б)