Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(82+41\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:
В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в \(\sqrt{2}\) раз больше катета.
\(AC=BC=a=82+41\sqrt{2};\) \(AB=c=a \sqrt{2}\) отсюда \(c=82 \sqrt{2}+82=41\left ( 1+\sqrt{2} \right )\)
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, найдем по формуле:
\(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{2 \cdot \left ( 82+41\sqrt{2} \right )-41\left ( 1+\sqrt{2} \right )}{2}=\frac{82}{2}\left ( 2+\sqrt{2}-1-\sqrt{2} \right )=41\)
Ответ: 41.
