Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
Решение:
По условию,
км/ч — скорость Марины по дороге в институт,
км/ч — скорость Марины по дороге домой, причем
— целое.
Средняя скорость находится по формуле:
а) Нет, не могла. Предположим, что
— не является целым. Получили противоречие с условием.
б) Пусть - целое число. Подставим m в формулу для средней скорости.
Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю и выразим m через n.
Подберем n, при котором m — целое.
если n=60,
Да, средняя скорость могла быть целым числом.
в) Найдем наименьшее возможное целое m.
Выделим целую часть в этой формуле. Это стандартный прием в решении задач на числа и их свойства. Сейчас переменная n - и в числителе, и в знаменателе. Выделение целой части поможет сделать так, чтобы переменная n осталась только в числителе, и тогда мы сможем оценить m,
По условию, m — целое. Значит, — целое и 20000 делится на (n+100)
(знак означает «делится без остатка»)
Получим: , где n<100.
По основной теореме арифметики, представим число 20000 как произведение простых множителей, взятых в натуральных степенях.
Чтобы 20000 делилось без остатка на n+100, число n+100 должно содержать в качестве множителей только двойки и пятерки, взятые в некоторых степенях.
, где
.
По условию, 0<n<100. Тогда 100<n+100<200. И теперь — перебор вариантов. Осмысленный перебор. Согласно определенному правилу.
Пусть p=0. Тогда , то есть число n+100 является степенью двойки. Однако
а n+100>100, значит, p=0 не подходит и число n+100 должно делиться на 5.
Пусть p=1. Тогда Подходит только k=5. При этом n+100=160, n=60.
3) p=2. Тогда , нет целых решений для 0<x<100.
4) p=3. Тогда . Подходит только k=0, при этом n=25.
5) p=4. Тогда , но при этом n+100>200 — не подходит.
Остаются два варианта.
Первый: n=60, и при этом m=75.
Второй: n=25, m=40.
Наименьше возможное m равно 40.
Ответ:
а) нет
б) да
в) 40.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 19, Вариант 4 — разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 23.09.2023