Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?
Решение:
По условию,
\(v_1=100\) км/ч — скорость Марины по дороге в институт,
\(v_2=n\) км/ч — скорость Марины по дороге домой, причем 
— целое.
Средняя скорость находится по формуле:
а) Нет, не могла. Предположим, что 
\(\frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{1}{45}; \frac{1}{n}=\frac{20}{45}-\frac{9}{100}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{20}\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{11}{180};\)
\(n=\frac{900}{11}\) — не является целым. Получили противоречие с условием.
б) Пусть 
- целое число. Подставим m в формулу для средней скорости.
\(\frac{2}{\frac{1}{100}+\frac{1}{n}}=m;{\rm \ \ }\frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{2}{m}\), 
Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю и выразим m через n.
\(\frac{2}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{100}; \frac{2n-m}{mn}=\frac{1}{100}; \ \ \ \ \ mn=200n-100m;\)
\(m\left(n+100\right)=200n;\ \ m=\frac{200n}{n+100}.\)
Подберем n, при котором m — целое.
если n=60, \(m=\frac{200\cdot 60}{160}=75.\)
Да, средняя скорость могла быть целым числом.
в) Найдем наименьшее возможное целое m.
\(m=\frac{200n}{n+100}.\)
Выделим целую часть в этой формуле. Это стандартный прием в решении задач на числа и их свойства. Сейчас переменная n - и в числителе, и в знаменателе. Выделение целой части поможет сделать так, чтобы переменная n осталась только в числителе, и тогда мы сможем оценить m,
\(m=\frac{200n+20000-20000}{n+100}=200-\frac{20000}{n+100};\)
По условию, m — целое. Значит, \(\frac{20000}{n+100}\) — целое и 20000 делится на (n+100)
(знак \(\vdots \ \) означает «делится без остатка»)
Получим: \(20000\vdots (n+100)\), где n<100.
По основной теореме арифметики, представим число 20000 как произведение простых множителей, взятых в натуральных степенях.
\(20000=2\cdot {10}^4=2^5\cdot 5^4.\)
Чтобы 20000 делилось без остатка на n+100, число n+100 должно содержать в качестве множителей только двойки и пятерки, взятые в некоторых степенях.
\(n+100=2^k\cdot 5^p\), где \(k\le 5,\ \ \ p\le 4\).
По условию, 0<n<100. Тогда 100<n+100<200. И теперь — перебор вариантов. Осмысленный перебор. Согласно определенному правилу.
Пусть p=0. Тогда \(n+100=2^k\), то есть число n+100 является степенью двойки. Однако \(2^5=32\) а n+100>100, значит, p=0 не подходит и число n+100 должно делиться на 5.
Пусть p=1. Тогда \(n+100=5\cdot 2^k.\) Подходит только k=5. При этом n+100=160, n=60.
3) p=2. Тогда \(x+100=25\cdot 2^k\), нет целых решений для 0<x<100.
4) p=3. Тогда \(n+100=125\cdot 2^k\). Подходит только k=0, при этом n=25.
5) p=4. Тогда \(n+100=625\cdot 2^k\), но при этом n+100>200 — не подходит.
Остаются два варианта.
Первый: n=60, и при этом m=75.
Второй: n=25, m=40.
Наименьше возможное m равно 40.
Ответ:
а) нет
б) да
в) 40.
