Задание 19, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Марина добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.

а) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?

б) Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?

в) Какое наименьшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

Решение:

По условию,

$v_1=100$ км/ч — скорость Марины по дороге в институт,

$v_2=n$ км/ч — скорость Марины по дороге домой, причем — целое.

Средняя скорость находится по формуле:

а) Нет, не могла. Предположим, что
$\frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{1}{45}; \frac{1}{n}=\frac{20}{45}-\frac{9}{100}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{20}\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{11}{180};$

$n=\frac{900}{11}$ — не является целым. Получили противоречие с условием.

б) Пусть - целое число. Подставим m в формулу для средней скорости.

$\frac{2}{\frac{1}{100}+\frac{1}{n}}=m;{\rm \ \ }\frac{1}{100}+\frac{1}{n}=\frac{2}{m}$ ,

Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю и выразим m через n.

$\frac{2}{m}-\frac{1}{n}=\frac{1}{100}; \frac{2n-m}{mn}=\frac{1}{100}; \ \ \ \ \ mn=200n-100m;$

$m\left(n+100\right)=200n;\ \ m=\frac{200n}{n+100}.$

Подберем n, при котором m — целое.

если n=60, $m=\frac{200\cdot 60}{160}=75.$

Да, средняя скорость могла быть целым числом.

в) Найдем наименьшее возможное целое m.

$m=\frac{200n}{n+100}.$

Выделим целую часть в этой формуле. Это стандартный прием в решении задач на числа и их свойства. Сейчас переменная n - и в числителе, и в знаменателе. Выделение целой части поможет сделать так, чтобы переменная n осталась только в числителе, и тогда мы сможем оценить m,

$m=\frac{200n+20000-20000}{n+100}=200-\frac{20000}{n+100};$

По условию, m — целое. Значит, $\frac{20000}{n+100}$ — целое и 20000 делится на (n+100)

(знак $\vdots \$ означает «делится без остатка»)

Получим: $20000\vdots (n+100)$ , где n<100.

По основной теореме арифметики, представим число 20000 как произведение простых множителей, взятых в натуральных степенях.
$20000=2\cdot {10}^4=2^5\cdot 5^4.$
Чтобы 20000 делилось без остатка на n+100, число n+100 должно содержать в качестве множителей только двойки и пятерки, взятые в некоторых степенях.

$n+100=2^k\cdot 5^p$ , где $k\le 5,\ \ \ p\le 4$ .

По условию, 0<n<100. Тогда 100<n+100<200. И теперь — перебор вариантов. Осмысленный перебор. Согласно определенному правилу.

Пусть p=0. Тогда $n+100=2^k$ , то есть число n+100 является степенью двойки. Однако $2^5=32$ а n+100>100, значит, p=0 не подходит и число n+100 должно делиться на 5.

Пусть p=1. Тогда $n+100=5\cdot 2^k.$ Подходит только k=5. При этом n+100=160, n=60.

3) p=2. Тогда $x+100=25\cdot 2^k$ , нет целых решений для 0<x<100.

4) p=3. Тогда $n+100=125\cdot 2^k$ . Подходит только k=0, при этом n=25.

5) p=4. Тогда $n+100=625\cdot 2^k$ , но при этом n+100>200 — не подходит.

Остаются два варианта.

Первый: n=60, и при этом m=75.

Второй: n=25, m=40.

Наименьше возможное m равно 40.

Ответ:

а) нет

б) да

в) 40.

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 19, Вариант 4 — разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 23.09.2023

Задание 19, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно