Авторская задача
а) Решите уравнение \(\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0.}\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]\).
Решение:
а) \(\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0}\)
В правой части уравнения — ноль. В левой — произведение двух множителей. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Кроме того, у уравнения есть область допустимых значений: выражение под корнем должно быть неотрицательно и x должен быть таким, для которого определен \(tgx\). Это значит, что \(\sin x\ \ge 0\) и \(cosx\ne0\).
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Напоминаем, что рисунок здесь необходим. На тригонометрическом круге мы отмечаем такие точки, для которых \(sinx=0\) или \(tgx=\pm 1,\) и при этом должны выполняться условия \(sinx\geq 0\) и \(cosx\ne 0\).
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]\). Отметим на тригонометрическом круге отрезок \(\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]\) и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \(0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.\)
Ответ:
а) 
б) \(0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.\)
