Задание 13, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача

а) Решите уравнение $\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]$ .

Решение:

а) $\left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0}$

В правой части уравнения — ноль. В левой — произведение двух множителей. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Кроме того, у уравнения есть область допустимых значений: выражение под корнем должно быть неотрицательно и x должен быть таким, для которого определен $tgx$ . Это значит, что $\sin x\ \ge 0$ и $cosx\ne0$ .

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Напоминаем, что рисунок здесь необходим. На тригонометрическом круге мы отмечаем такие точки, для которых $sinx=0$ или $tgx=\pm 1,$ и при этом должны выполняться условия $sinx\geq 0$ и $cosx\ne 0$ .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]$ . Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]$ и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.$

Ответ:

а)

б) $0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.$

Смотреть все задачи варианта

Задание 13, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно