previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 4 — разбор решения задачи

Авторская задача

а) Решите уравнение \left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0.}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right].

Решение:

а) \left({{\rm tg}}^{{\rm 2}}{\rm x-1}\right)\sqrt{{sin {\rm x}\ }}{\rm =0}

В правой части уравнения — ноль. В левой — произведение двух множителей. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Кроме того, у уравнения есть область допустимых значений: выражение под корнем должно быть неотрицательно и x должен быть таким, для которого определен tgx. Это значит, что \sin x\ \ge 0 и cosx\ne0.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Напоминаем, что рисунок здесь необходим. На тригонометрическом круге мы отмечаем такие точки, для которых sinx=0 или tgx=\pm 1, и при этом должны выполняться условия sinx\geq 0 и cosx\ne 0.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right]. Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[{\rm -}\frac{\pi }{{\rm 2}};\pi \right] и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки 0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.

Ответ:

а)

б) 0; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \pi.

Смотреть все задачи варианта