Задание 17, Вариант 4 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

В начале марта 2017 года клиент обратился в банк за кредитом. Условия кредитования следующие:

Срок полного погашения кредита 9 месяцев.

1-го числа каждого месяца (начиная с апреля) сумма долга увеличивается на 2%.
Со 2-го по 14-е число каждого месяца, начиная с апреля, клиент обязан выплатить часть долга,

- Сумма долга на 15-е число каждого месяца должна быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в период со 2 по 14 августа клиент обязан выплатить банку 44 тысячи рублей. Найдите общую сумму, которую клиент выплатит банку на таких условиях.

Решение:

Пусть S — сумма кредита, p=2% — процент, начисляемый банком;

$k=1+\frac{p}{100}=1,02$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после очередного начисления процентов.

Нарисуем схему выплаты кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 9.

Первоначальная сумма кредита равна S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна kS. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на $\frac{1}{9}S$ и стала равной $\frac{8}{9}S.$ Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна $\frac{8}{9}kS.$ Таким образом, первая выплата

$Z_{1}=S\cdot k-\frac{8}{9}S$

Вторая выплата:
$\vdots$
9-я выплата: $Z_9=\frac{1}{9}kS$

Найдем выплату за август (пятую по счету).

$Z_5=\frac{5}{9}kS-\frac{4}{9}S=44$ (тыс. рублей). Отсюда $S=\frac{44\cdot 9}{1,1}=360$ тыс. рублей.

Сумма всех выплат:

$Z=Z_1+Z_2+\dots +Z_9=S\cdot k\left(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)-S\left(\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)=$

$=5kS-4S=S\left(5k-4\right)=360\left(5\cdot 1,02-4\right)=360\cdot 1,1=396$ тыс. рублей

Мы вывели формулу для общей суммы выплат. Есть и короткий способ решения этой задачи — применение готовой формулы для общей суммы выплат.

Величина выплат B=S+П. Здесь П — переплата по кредиту, S — сумма кредита.

По формуле для величины переплаты, $\Pi = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}S,$ где $n=9,\ \ p=2;$

тогда $B=360\left(1+\frac{10}{2}\cdot \frac{2}{100}\right)=360\cdot 1,1=396$
тысяч рублей.

Если на ЕГЭ вы воспользовались готовой формулой для переплаты — вы потеряете не менее 1 балла за эту задачу, зато сэкономите время. Выбор за вами.

Ответ: 396 тысяч рублей.

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 17, Вариант 4 — разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 24.09.2023

Задание 17, Вариант 4 — разбор решения задачи

Это полезно