previous arrow
next arrow
Slider

Задание 17, Вариант 4 — разбор решения задачи

В начале марта 2017 года клиент обратился в банк за кредитом. Условия кредитования следующие:

Срок полного погашения кредита 9 месяцев.

1-го числа каждого месяца (начиная с апреля) сумма долга увеличивается на 2%.
Со 2-го по 14-е число каждого месяца, начиная с апреля, клиент обязан выплатить часть долга,

- Сумма долга на 15-е число каждого месяца должна быть на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в период со 2 по 14 августа клиент обязан выплатить банку 44 тысячи рублей. Найдите общую сумму, которую клиент выплатит банку на таких условиях.

Решение:

Пусть S — сумма кредита, p=2% — процент, начисляемый банком;

k=1+\frac{p}{100}=1,02 — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после очередного начисления процентов.

Нарисуем схему выплаты кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 9.

Первоначальная сумма кредита равна S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна kS. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на \frac{1}{9}S и стала равной \frac{8}{9}S. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна \frac{8}{9}kS. Таким образом, первая выплата

Z_{1}=S\cdot k-\frac{8}{9}S

Вторая выплата:
\vdots
9-я выплата: Z_9=\frac{1}{9}kS

Найдем выплату за август (пятую по счету).

Z_5=\frac{5}{9}kS-\frac{4}{9}S=44(тыс. рублей). Отсюда S=\frac{44\cdot 9}{1,1}=360 тыс. рублей.

Сумма всех выплат:

Z=Z_1+Z_2+\dots +Z_9=S\cdot k\left(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)-S\left(\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\dots +\frac{1}{9}\right)=

=5kS-4S=S\left(5k-4\right)=360\left(5\cdot 1,02-4\right)=360\cdot 1,1=396 тыс. рублей

Мы вывели формулу для общей суммы выплат. Есть и короткий способ решения этой задачи — применение готовой формулы для общей суммы выплат.

Величина выплат B=S+П. Здесь П — переплата по кредиту, S — сумма кредита.

По формуле для величины переплаты, \Pi = \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}S, где n=9,\ \ p=2;

тогда B=360\left(1+\frac{10}{2}\cdot \frac{2}{100}\right)=360\cdot 1,1=396
тысяч рублей.

Если на ЕГЭ вы воспользовались готовой формулой для переплаты — вы потеряете не менее 1 балла за эту задачу, зато сэкономите время. Выбор за вами.

Ответ: 396 тысяч рублей.

Смотреть все задачи варианта