Авторская задача. Найдите значение функции \(f\left(x\right)=x^4-4x^3 -2 x^ 2 +12x+9\) в точке максимума.
Решение:
Найдем производную функции: \(f'\left(x\right)={4x}^3-{12x}^3-4x+12\).
Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку максимума.
\( f'\left(x\right)=0 \)
\( x^3-{3x}^2-x+3=0 \)
\( x\left(x^2-1\right)-3\left(x^2-1\right)=0 \)
\( \left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0
\)
Отметим на числовой прямой знаки производной.
В точках максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На рисунке такая точка одна. Это \(x = 1.\)
Найдем значение функции в точке максимума.
\( f\left(1\right)=1-4-2+12+9=16 \)
Ответ: 16.
