Часть 1. Задания с кратким ответом.
1. Авторская задача. В сентябре помидоры стали стоить на 20% дороже, чем в августе, а в октябре на 25% дороже, чем в сентябре. На сколько процентов подорожали помидоры в октябре по сравнению с августом?
2. Авторская задача. На графике показан рост числа пользователей интернета в России (с 2000 по 2014 год). На сколько миллионов человек больше пользовались интернетом в России в 2014 году, чем в 2004?
3. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \(\cdot\) 1 см.
4. Авторская задача. Студент-биолог сдает тест, состоящий из четырех вопросов, причем вопросы для теста выбираются из списка случайным образом. Темы известны:
1-й вопрос — тема «Рыбы»,
2-й вопрос — тема «Рептилии»,
3-й вопрос — тема «Птицы»,
4-й вопрос — тема «Млекопитающие».
Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Чтобы сдать тест, студенту достаточно набрать не менее 3 баллов. С какой вероятностью студент сдаст тест, если по теме «Рыбы» выучил 4 вопроса из 10 возможных, по теме «Рептилии» — 2 из 10, по теме «Птицы» — 5 из 10, зато по теме «Млекопитающие» знает ответ на любой из 10 возможных вопросов, которые могут встретиться в тесте?
5. Авторская задача. Решите уравнение:
\(\frac{{\rm 7-x}}{x-2}=\frac{{\rm 10}}{x^2-2x}\)
В ответ запишите меньший его корень.
6. Авторская задача. Треугольник АВС вписан в окружность, угол АВС равен \(18 ^{\circ}\). Найдите длину дуги АС, если произведение радиуса этой окружности и числа \(\pi\) равно 10.
7. Авторская задача. На рисунке изображен график производной функции \(f(x),\) определенной на интервале (-4; 12). Найдите количество точек максимума функции \(y=f(x)\) на этом интервале.
8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны \(\frac{2}{\pi}\) . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
9. Найдите \(9cos 2 \alpha,\) если \(cos \alpha = \frac{1}{3}\)
10. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m\left(t\right)=m_0\cdot 2^{-t/T}\), где \(m_0\) — начальная масса изотопа, \(t\) — время, прошедшее от начального момента, \(T\) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 188 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 47 мг.
11. Авторская задача. Пройдя 255 км по течению реки, катер возвращается в исходную точку, причем обратный путь занимает на 2 часа больше времени. Найдите скорость течения, если скорость катера в неподвижной воде равна 16 км/ч.
12. Авторская задача. Найдите значение функции \(f\left(x\right)=x^4-4x^3 -2 x^ 2 +12x+9\) в точке максимума.
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
13. Авторская задача.
Дано уравнение
\( {sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ } \)
а) решить уравнение
б) найти все его решения на отрезке \([\pi; 3\pi]\)
14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки \(B_{1}\) и \(C_{1}\), причем \(BB_{1}\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_{1}\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол \(ABC_{1}\) прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \({AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.\)
15. Решите неравенство: \(\frac{2x^2-6x}{x-4}\ \le x\)
16 Авторская задача. Окружность \({\omega }_1\) c центром Р и радиусом \(\sqrt{6} \) и окружность \({\omega }_2\) с центром Q и радиусом 2 касаются внешним образом в точке А. Окружность \({\omega }_3\) с центром в точке О и радиусом равным \(2\sqrt{3}\ \) пересекает окружность \({\omega }_1\) в точках А и В, причем угол ОВР - прямой. Точка С — вторая точка пересечения окружностей \({\omega }_2\) и \({\omega }_3\).
а) Докажите, что угол ОСQ — также прямой,
б) Найдите ВС.
17 Авторская задача. Гражданин Гусев взял кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S, взятой в кредит. Схема выплата кредита следующая: в конце каждого года банк увеличивает на 25 процентов оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в банк очередной платеж.
После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до 20% годовых, и гражданин Гусев внес третий платеж. Четвертым платежом долг был погашен полностью. Сколько процентов первоначальной суммы S составлял четвертый платеж по кредиту гражданина Гусева?
18. Найти все значения \(b,\) при каждом из которых уравнение
\( {(2x-x^2)}^2-4\sqrt{2x-x^2}=b \)
имеет хотя бы один корень.
19.
а) Представьте число \(\frac{33}{100}\) в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число \( \frac{15}{91}\) в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел \(m\) и \(n,\) для которых \(m\le n\) и \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} .\)
Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор
