previous arrow
next arrow
Slider

Маттренинги Вариант 6

Часть 1. Задания с кратким ответом.

1. Авторская задача. В сентябре помидоры стали стоить на 20% дороже, чем в августе, а в октябре на 25% дороже, чем в сентябре. На сколько процентов подорожали помидоры в октябре по сравнению с августом?

Посмотреть решение

2. Авторская задача. На графике показан рост числа пользователей интернета в России (с 2000 по 2014 год). На сколько миллионов человек больше пользовались интернетом в России в 2014 году, чем в 2004?

Посмотреть решение

3. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \cdot 1 см.

Посмотреть решение

4. Авторская задача. Студент-биолог сдает тест, состоящий из четырех вопросов, причем вопросы для теста выбираются из списка случайным образом. Темы известны:

1-й вопрос — тема «Рыбы»,

2-й вопрос — тема «Рептилии»,

3-й вопрос — тема «Птицы»,

4-й вопрос — тема «Млекопитающие».

Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Чтобы сдать тест, студенту достаточно набрать не менее 3 баллов. С какой вероятностью студент сдаст тест, если по теме «Рыбы» выучил 4 вопроса из 10 возможных, по теме «Рептилии» — 2 из 10, по теме «Птицы» — 5 из 10, зато по теме «Млекопитающие» знает ответ на любой из 10 возможных вопросов, которые могут встретиться в тесте?

Посмотреть решение

5. Авторская задача. Решите уравнение:

\frac{{\rm 7-x}}{x-2}=\frac{{\rm 10}}{x^2-2x}

В ответ запишите меньший его корень.

Посмотреть решение

6. Авторская задача. Треугольник АВС вписан в окружность, угол АВС равен 18 ^{\circ}. Найдите длину дуги АС, если произведение радиуса этой окружности и числа \pi равно 10.

Посмотреть решение

7. Авторская задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 12). Найдите количество точек максимума функции y=f(x) на этом интервале.

Посмотреть решение

8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны \frac{2}{\pi} . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Посмотреть решение

9. Найдите 9cos 2 \alpha, если cos \alpha = \frac{1}{3}

Посмотреть решение

10. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m\left(t\right)=m_0\cdot 2^{-t/T}, где m_0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 188 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 47 мг.

Посмотреть решение

11. Авторская задача. Пройдя 255 км по течению реки, катер возвращается в исходную точку, причем обратный путь занимает на 2 часа больше времени. Найдите скорость течения, если скорость катера в неподвижной воде равна 16 км/ч.

Посмотреть решение

12. Авторская задача. Найдите значение функции f\left(x\right)=x^4-4x^3 -2 x^ 2 +12x+9 в точке максимума.

Посмотреть решение

Часть 2. Задания с развернутым ответом.

13. Авторская задача.

Дано уравнение

{sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ }

а) решить уравнение

б) найти все его решения на отрезке [\pi; 3\pi]

Посмотреть решение

14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B_{1} и C_{1}, причем BB_{1} — образующая цилиндра, а отрезок AC_{1} пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC_{1} прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если {AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.

Посмотреть решение

15. Решите неравенство: \frac{2x^2-6x}{x-4}\ \le x

Посмотреть решение

16 Авторская задача. Окружность {\omega }_1 c центром Р и радиусом \sqrt{6} и окружность {\omega }_2 с центром Q и радиусом 2 касаются внешним образом в точке А. Окружность {\omega }_3 с центром в точке О и радиусом равным 2\sqrt{3}\ пересекает окружность {\omega }_1 в точках А и В, причем угол ОВР - прямой. Точка С — вторая точка пересечения окружностей {\omega }_2 и {\omega }_3.

а) Докажите, что угол ОСQ — также прямой,

б) Найдите ВС.

Посмотреть решение

17 Авторская задача. Гражданин Гусев взял кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S, взятой в кредит. Схема выплата кредита следующая: в конце каждого года банк увеличивает на 25 процентов оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в банк очередной платеж.

После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до 20% годовых, и гражданин Гусев внес третий платеж. Четвертым платежом долг был погашен полностью. Сколько процентов первоначальной суммы S составлял четвертый платеж по кредиту гражданина Гусева?

Посмотреть решение

18. Найти все значения b, при каждом из которых уравнение
{(2x-x^2)}^2-4\sqrt{2x-x^2}=b

имеет хотя бы один корень.

Посмотреть решение

19.

а) Представьте число \frac{33}{100} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число \frac{15}{91} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m\le n и \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} .

Посмотреть решение

Посмотреть ответы к задачам 1-12 Посмотреть видеоразбор