previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 6 — разбор решения задачи

Авторская задача.

Дано уравнение

{sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ }

а) решить уравнение

б) найти все его решения на отрезке [\pi; 3\pi]

Решение:

а) {sin 2x\ }={sin (x-\frac{\pi}{2})\ }+{cos \frac{\pi}{2}{sin \frac{\pi}{3}\ }\ }

Упростим выражение {sin (x-\frac{\pi}{2})\ } по формуле приведения. Получим: {sin (x-\frac{\pi}{2})\ }=cosx.

Заметим, что {cos \frac{\pi}{2}=0\ }.

Уравнение примет вид:

2sinxcosx+cosx=0

С помощью тригонометрического круга найдем серии решений.

Ответ: а) x_1=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z

x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n

x_3=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n

б) найдем все решения уравнения на отрезке [\pi; 3\pi]

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[\pi ;{\rm 3}\pi \right]{\rm \ } и найденные серии решений. Видим, что указанному отрезку принадлежат точки \frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6};\frac{5\pi}{2}.

Ответ:\frac{7\pi}{6};\frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6};\frac{5\pi}{2}.

Смотреть все задачи варианта