Авторская задача. Гражданин Гусев взял кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S, взятой в кредит. Схема выплата кредита следующая: в конце каждого года банк увеличивает на 25 процентов оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в банк очередной платеж.
После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до 20% годовых, и гражданин Гусев внес третий платеж. Четвертым платежом долг был погашен полностью. Сколько процентов первоначальной суммы S составлял четвертый платеж по кредиту гражданина Гусева?
Решение:
Пусть \(S\) — сумма кредита,
\(X=\frac{S}{2}\) — ежегодные платежи, по условию равные половине суммы S, взятой в кредит.
После первого начисления процентов сумма долга увеличилась на 25%, то есть в 1,25 раза, и стала равна \(1,25\cdot S=\frac{5}{4}\cdot S\),
После первого платежа \(\frac{5}{4}\cdot S-\frac{S}{2}\),
Через 2 года сумма долга \(R=\left(\frac{5}{4}\cdot S-\frac{S}{2}\right)\cdot \frac{5}{4}-\frac{S}{2}\).
Банк уменьшил процентную ставку до 20% годовых.
После начисления процентов сумма долга стала равна
\( R\cdot 1,2=\frac{6}{5}\cdot R = \frac{6}{5}\cdot \ \left(\frac{5}{4}\cdot S-\frac{S}{2}\right)\cdot \frac{5}{4}-\frac{S}{2}).\ \)
Четвертым платежом долг был погашен полностью. Пусть четвертый платеж по кредиту равен \(y.\)
Получим:
\( \left(\left(\left(\frac{5}{4}\cdot S-\frac{S}{2}\right)\cdot \frac{5}{4}-\frac{S}{2}\right)\cdot \frac{6}{5}-\frac{S}{2}\right)\cdot \frac{6}{5}-\ y=0.
\)
Вынесем \(S\) за скобки и вычислим \(y.\)
\( S\cdot \left(\left(\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{5}{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{6}{5}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{6}{5}=\frac{3}{100}\cdot S=y \Rightarrow \)
3% первоначальной суммы составлял четвертый платеж.
Ответ: 3%.