Задание 14, Вариант 6 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причем $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $ABC_{1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.$

Решение:

а) Пусть $OO_1$ — ось цилиндра. Докажем, что $\angle ABC_1=90^{\circ}$

$AC_1\cap OO_1 \Rightarrow$ точки $A, C_{1,}\ O, \ O_1$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\alpha .$ Мы воспользовались тем, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания цилиндра, поскольку проходит через $OO_1$ — перпендикуляр к плоскости основания. Мы применили признак перпендикулярности плоскостей.

$\alpha \bot \left(AOB\right),$ т.к. $OO_1\in \alpha ,\ OO_1\bot \left(AOB\right).$

Проведем в плоскости $\alpha$ прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельно ${OO}_{1}$ . Тогда $AA_1$ и $CC_1$ — образующие цилиндра.

Точка $C$ — проекция точки $C_1$ на плоскость основания цилиндра,
$\angle ABC=90^{\circ}$ (опирается на диаметр).

Отрезок $BC$ — проекция отрезка $BC_1$ на плоскость основания,

$BC\bot AB.$ Значит, $BC_1\bot AB$ по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

По условию,

$AB=15,\ \ BB_1=21=h,\ {B}_1C_1=20.$
Так как $BB_1C_1C$ — прямоугольник, $BC=B_1C_1$ . Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС = 25.

Ответ: $525\pi$

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 14, Вариант 6 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 20.09.2023

Задание 14, Вариант 6 — разбор решения задачи

Это полезно