В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки и
, причем
— образующая цилиндра, а отрезок
пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
Решение:
а) Пусть — ось цилиндра. Докажем, что
точки
лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость
Мы воспользовались тем, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.
Плоскость перпендикулярна плоскости основания цилиндра, поскольку проходит через
— перпендикуляр к плоскости основания. Мы применили признак перпендикулярности плоскостей.
т.к.
Проведем в плоскости прямые
и
параллельно
. Тогда
и
— образующие цилиндра.
Точка — проекция точки
на плоскость основания цилиндра,
(опирается на диаметр).
Отрезок — проекция отрезка
на плоскость основания,
Значит,
по теореме о трех перпендикулярах.
б) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
По условию,
Так как — прямоугольник,
. Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС = 25.
Ответ: