В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки \(B_{1}\) и \(C_{1}\), причем \(BB_{1}\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_{1}\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол \(ABC_{1}\) прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \({AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.\)
Решение:
а) Пусть \(OO_1\) — ось цилиндра. Докажем, что \(\angle ABC_1=90^{\circ} \)
\(AC_1\cap OO_1 \Rightarrow \) точки \(A, C_{1,}\ O, \ O_1\) лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость \(\alpha .\) Мы воспользовались тем, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.
Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости основания цилиндра, поскольку проходит через \(OO_1\) — перпендикуляр к плоскости основания. Мы применили признак перпендикулярности плоскостей.
\( \alpha \bot \left(AOB\right),\) т.к. \(OO_1\in \alpha ,\ OO_1\bot \left(AOB\right).\)
Проведем в плоскости \(\alpha\) прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельно \({OO}_{1}\). Тогда \( AA_1 \) и \( CC_1\) — образующие цилиндра.
Точка \(C\) — проекция точки \(C_1\) на плоскость основания цилиндра,
\( \angle ABC=90^{\circ}\) (опирается на диаметр).
Отрезок \(BC\) — проекция отрезка \( BC_1\) на плоскость основания,
\(BC\bot AB.\) Значит, \(BC_1\bot AB\) по теореме о трех перпендикулярах.
б) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
По условию,
\( AB=15,\ \ BB_1=21=h,\ {B}_1C_1=20. \)
Так как \(BB_1C_1C\) — прямоугольник, \( BC=B_1C_1\). Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС = 25.
Ответ: \(525\pi \)
