previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14, Вариант 6 — разбор решения задачи

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки B_{1} и C_{1}, причем BB_{1} — образующая цилиндра, а отрезок AC_{1} пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC_{1} прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если {AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.

Решение:

а) Пусть OO_1 — ось цилиндра. Докажем, что \angle ABC_1=90^{\circ}

AC_1\cap OO_1 \Rightarrow точки A, C_{1,}\ O, \ O_1 лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость \alpha . Мы воспользовались тем, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Плоскость \alpha перпендикулярна плоскости основания цилиндра, поскольку проходит через OO_1 — перпендикуляр к плоскости основания. Мы применили признак перпендикулярности плоскостей.

\alpha \bot \left(AOB\right), т.к.  OO_1\in \alpha ,\ OO_1\bot \left(AOB\right).

Проведем в плоскости \alpha прямые AA_1 и CC_1 параллельно {OO}_{1}. Тогда AA_1 и CC_1 — образующие цилиндра.

Точка C — проекция точки C_1 на плоскость основания цилиндра,
\angle ABC=90^{\circ} (опирается на диаметр).

Отрезок BC — проекция отрезка BC_1 на плоскость основания,

BC\bot AB. Значит, BC_1\bot AB по теореме о трех перпендикулярах.

б) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

По условию,

AB=15,\ \ BB_1=21=h,\ {B}_1C_1=20.
Так как BB_1C_1C — прямоугольник, BC=B_1C_1. Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС = 25.

Ответ: 525\pi

Смотреть все задачи варианта