Задание 14, Вариант 6 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причем $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $ABC_{1}$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ${AB} = 15, {BB}_{1}= 21, {B}_{1}{C}_{1} = 20.$

Решение:

а) Пусть $OO_1$ — ось цилиндра. Докажем, что $\angle ABC_1=90^{\circ}$

$AC_1\cap OO_1 \Rightarrow$ точки $A, C_{1,}\ O, \ O_1$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\alpha .$ Мы воспользовались тем, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания цилиндра, поскольку проходит через $OO_1$ — перпендикуляр к плоскости основания. Мы применили признак перпендикулярности плоскостей.