Задание 16, Вариант 6 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. Окружность ${\omega }_1$ c центром Р и радиусом $\sqrt{6}$ и окружность ${\omega }_2$ с центром Q и радиусом 2 касаются внешним образом в точке А. Окружность ${\omega }_3$ с центром в точке О и радиусом равным $2\sqrt{3}\$ пересекает окружность ${\omega }_1$ в точках А и В, причем угол ОВР — прямой. Точка С — вторая точка пересечения окружностей ${\omega }_2$ и ${\omega }_3$ .

а) Докажите, что угол ОСQ — также прямой,

б) Найдите ВС.

Решение:

Точка касания окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Значит, $A\in {\rm \ }{\rm PQ}$ .

$\vartriangle {\rm OBP=}\vartriangle {\rm OAP\ }$ (по 3 сторонам),

Тогда $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ}$

${\rm A\ }\in {\rm \ PQ}$ , значит $\angle {\rm PAQ=180^{\circ} }$

$\angle OAQ$ — смежный с $\angle {\rm OAP,\ \ }\angle {\rm OAQ=180^{\circ} -90^{\circ} =90^{\circ} \ }.$

Аналогично, $\vartriangle {\rm OCQ}{\rm =}\vartriangle {\rm OAQ}{\rm \ }$ (по 3 сторонам), и $\angle {\rm OCQ=90^{\circ} \ ,\ }$ что и требовалось доказать.

б) Найдем ВС.

Пусть $\angle {\rm BOP=}\angle {\rm BOA=}\alpha$ и $\angle {\rm AOQ=}\angle {\rm QOC=}\beta$ .

Рассмотрим $\vartriangle BOC.\$

$\angle {\rm BOC=2}\alpha {\rm +2}\beta {\rm =2}\left(\alpha {\rm +}\beta \right){\rm .\ }$

Найдем BC по теореме косинусов из $\vartriangle BOC:\$

$BC^2=OB^2+OC^2-2OB \cdot OC \cdot cos \angle BOC$

Так как $OB=OC,$ получим: $BC^2= 2OB^2\cdot (1-cos2\cdot (\alpha +\beta ))=4\cdot (2\sqrt{3})^{2}\cdot sin^2(\alpha +\beta ).$

Мы применили формулу косинуса двойного угла: $cos2\varphi =1-2sin^2\varphi ,$ откуда
$1-cos2\varphi =2sin^2\varphi .$

Осталось применить формулу синуса суммы: $sin\left(\alpha +\beta \right)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta.$

В прямоугольном треугольнике $BOP: \ BP =\sqrt{6}$ , $OB= 2\sqrt{3}$

Тогда $OP = 3\sqrt{2}, \ {\sin \alpha=\frac{BP}{OP}= \frac{\sqrt{3\ }}{3}; \ \cos \alpha= \frac{BO}{OP}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}.\$

В прямоугольном треугольнике $AOQ: AQ = 2$ , $OA = 2\sqrt{3}$ Это значит, что углы треугольника AOQ равны 90, 30 и 60 градусов («особенный» треугольник, больший катет в $\sqrt{3}\$ раз больше меньшего). Получим, что ${sin \beta =\frac{AQ}{OQ}=\frac{1}{2}; {cos \beta=\ \ }\ \frac{AO}{OQ}=\frac{\sqrt{3\ }}{2}.\ }$

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos + \cos \alpha \sin \beta =$

$=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)= \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot(\sqrt{2} +\sqrt{3} ) .$

$BC=2 \cdot 2 \sqrt{3\ }\cdot \frac{\sqrt{3\ }}{6}\cdot \left(\sqrt{2} +\sqrt{3}\right)= 2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$

Ответ: $2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 6 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 19.03.2023

Задание 16, Вариант 6 — разбор решения задачи

Это полезно