Авторская задача. Окружность \({\omega }_1\) c центром Р и радиусом \(\sqrt{6} \) и окружность \({\omega }_2\) с центром Q и радиусом 2 касаются внешним образом в точке А. Окружность \({\omega }_3\) с центром в точке О и радиусом равным \(2\sqrt{3}\ \) пересекает окружность \({\omega }_1\) в точках А и В, причем угол ОВР — прямой. Точка С — вторая точка пересечения окружностей \({\omega }_2\) и \({\omega }_3\).
а) Докажите, что угол ОСQ — также прямой,
б) Найдите ВС.
Решение:
Точка касания окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Значит, \(A\in {\rm \ }{\rm PQ}\).
\(\vartriangle {\rm OBP=}\vartriangle {\rm OAP\ }\) (по 3 сторонам),
Тогда \(\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ} \)
\({\rm A\ }\in {\rm \ PQ}\), значит \(\angle {\rm PAQ=180^{\circ} }\)
\( \angle OAQ\) — смежный с \( \angle {\rm OAP,\ \ }\angle {\rm OAQ=180^{\circ} -90^{\circ} =90^{\circ} \ }. \)
Аналогично, \(\vartriangle {\rm OCQ}{\rm =}\vartriangle {\rm OAQ}{\rm \ }\) (по 3 сторонам), и \(\angle {\rm OCQ=90^{\circ} \ ,\ }\) что и требовалось доказать.
б) Найдем ВС.
Пусть \(\angle {\rm BOP=}\angle {\rm BOA=}\alpha \) и \(\angle {\rm AOQ=}\angle {\rm QOC=}\beta \).
Рассмотрим \(\vartriangle BOC.\ \)
\( \angle {\rm BOC=2}\alpha {\rm +2}\beta {\rm =2}\left(\alpha {\rm +}\beta \right){\rm .\ } \)
Найдем BC по теореме косинусов из \( \vartriangle BOC:\ \)
\( BC^2=OB^2+OC^2-2OB \cdot OC \cdot cos \angle BOC \)
Так как \(OB=OC,\) получим: \(BC^2= 2OB^2\cdot (1-cos2\cdot (\alpha +\beta ))=4\cdot (2\sqrt{3})^{2}\cdot sin^2(\alpha +\beta ).\)
Мы применили формулу косинуса двойного угла: \(cos2\varphi =1-2sin^2\varphi ,\) откуда
\( 1-cos2\varphi =2sin^2\varphi .\)
Осталось применить формулу синуса суммы: \(sin\left(\alpha +\beta \right)=sin \alpha cos \beta+cos \alpha sin \beta.\)
В прямоугольном треугольнике \(BOP: \ BP =\sqrt{6}\), \(OB= 2\sqrt{3}\)
Тогда \(OP = 3\sqrt{2}, \ {\sin \alpha=\frac{BP}{OP}= \frac{\sqrt{3\ }}{3}; \ \cos \alpha= \frac{BO}{OP}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}.\
\)
В прямоугольном треугольнике \(AOQ: AQ = 2\), \(OA = 2\sqrt{3} \) Это значит, что углы треугольника AOQ равны 90, 30 и 60 градусов («особенный» треугольник, больший катет в \(\sqrt{3}\ \) раз больше меньшего). Получим, что \({sin \beta =\frac{AQ}{OQ}=\frac{1}{2}; {cos \beta=\ \ }\ \frac{AO}{OQ}=\frac{\sqrt{3\ }}{2}.\ }\)
\( \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos + \cos \alpha \sin \beta =\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)= \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot(\sqrt{2} +\sqrt{3} ) .\)
\( BC=2 \cdot 2 \sqrt{3\ }\cdot \frac{\sqrt{3\ }}{6}\cdot \left(\sqrt{2} +\sqrt{3}\right)= 2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \)
Ответ: \(2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\)