Задание 18, Вариант 6 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Найти все значения $b,$ при каждом из которых уравнение
${(2x-x^2)}^2-4\sqrt{2x-x^2}=b$

имеет хотя бы один корень.

Решение:

ОДЗ уравнения: $2x-x^2\ge 0$ . Это значит, что $x\left(2-x\right)\ge 0$ и $0\le x\le 2.$

Сделаем замену: $\sqrt{2x-x^2}=t.$

Очевидно, что $\ t\ge 0.$ Посмотрим, какие еще есть условия для $t$ .

Пусть $\ z\left(x\right)=2x-x^2.\$ Легко показать, что $z_{max}\left(x\right)=z\left(1\right)=1$

Значит, при $0\le x\le 2$ функция $z\left(x\right)$ принимает значения от 0 до 1, $0\le z\left(x\right)\le 1,$ и тогда $t\in \left[0; 1\right]$ .

Переформулируем условие задачи для переменной t.

При каких значениях параметра b уравнение

$t^4-4t=b$

имеет хотя бы один корень на отрезке $t\in \left[0; 1\right]?$

Решим графически уравнение

$t^4=4t+b$ . Левая часть уравнения - степенная функция. Правая часть - прямая с угловым коэффициентом равным 4, сдвинутая на b по оси Y.

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке $t\in \left[0;1\right],\$ если графики функций $y=t^4$ и $y=4t+b$ имеют на этом отрезке хотя бы одну общую точку.

Если $b = 0,$ прямая $y=4t$ проходит через начало координат, как и парабола ${y=t}^4.$

Пусть А - точка касания графиков функций ${y=t}^4$ и $y=4t+b.$

Условия касания графика функции $y=f(x)$ и прямой $y=kx+b$ в точке $x_0$ записываются в виде системы уравнений:
$\left\{\begin{matrix}f\left(x_0\right)=kx+b\ \ \ \ \ \ \ \\f$

В нашем случае условие касания:

Получим, что $t=1$ - точка касания.

Если $t=1,$ то $b_0=-3.$

Мы получили, что если $-3\le b\le 0,\ \$ то прямая $y=4t+b$ имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции $y=t^4.$ Это значит, что исходное уравнение имеет хотя бы один корень.

Ответ: $-3\leq b \leq 0.$

Смотреть все задачи варианта

Задание 18, Вариант 6 — разбор решения задачи

Это полезно