Найти все значения при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение:
ОДЗ уравнения: . Это значит, что
и
Сделаем замену:
Очевидно, что Посмотрим, какие еще есть условия для
.
Пусть Легко показать, что
Значит, при функция
принимает значения от 0 до 1,
и тогда
.
Переформулируем условие задачи для переменной t.
При каких значениях параметра b уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке
Решим графически уравнение
. Левая часть уравнения - степенная функция. Правая часть - прямая с угловым коэффициентом равным 4, сдвинутая на b по оси Y.
Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке если графики функций
и
имеют на этом отрезке хотя бы одну общую точку.
Если прямая
проходит через начало координат, как и парабола
Пусть А - точка касания графиков функций и
Условия касания графика функции и прямой
в точке
записываются в виде системы уравнений:
В нашем случае условие касания:
Получим, что - точка касания.
Если то
Мы получили, что если то прямая
имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции
Это значит, что исходное уравнение имеет хотя бы один корень.
Ответ: