previous arrow
next arrow
Slider

Задание 18, Вариант 6 — разбор решения задачи

Найти все значения b, при каждом из которых уравнение
{(2x-x^2)}^2-4\sqrt{2x-x^2}=b

имеет хотя бы один корень.

Решение:

ОДЗ уравнения: 2x-x^2\ge 0. Это значит, что x\left(2-x\right)\ge 0 и 0\le x\le 2.

Сделаем замену: \sqrt{2x-x^2}=t.

Очевидно, что \ t\ge 0. Посмотрим, какие еще есть условия для t.

Пусть \ z\left(x\right)=2x-x^2.\ Легко показать, что z_{max}\left(x\right)=z\left(1\right)=1

Значит, при 0\le x\le 2 функция z\left(x\right) принимает значения от 0 до 1, 0\le z\left(x\right)\le 1, и тогда t\in \left[0; 1\right].

Переформулируем условие задачи для переменной t.

При каких значениях параметра b уравнение 

t^4-4t=b

имеет хотя бы один корень на отрезке t\in \left[0; 1\right]?

Решим графически уравнение

t^4=4t+b. Левая часть уравнения - степенная функция. Правая часть - прямая с угловым коэффициентом равным 4, сдвинутая на b по оси Y.

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке t\in \left[0;1\right],\ если графики функций y=t^4 и  y=4t+b имеют на этом отрезке хотя бы одну общую точку.

Если b = 0, прямая y=4t проходит через начало координат, как и парабола {y=t}^4.

Пусть А - точка касания графиков функций {y=t}^4 и  y=4t+b.

Условия касания графика функции y=f(x) и прямой y=kx+b в точке x_0 записываются в виде системы уравнений:
\left\{\begin{matrix}f\left(x_0\right)=kx+b\ \ \ \ \ \ \ \\f

В нашем случае условие касания:

Получим, что t=1 - точка касания.

Если t=1, то b_0=-3.

Мы получили, что если -3\le b\le 0,\ \ то прямая y=4t+b имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции y=t^4. Это значит, что исходное уравнение имеет хотя бы один корень.

Ответ: -3\leq b \leq 0.

Смотреть все задачи варианта