Задание 19, Вариант 6 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

а) Представьте число $\frac{33}{100}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число $\frac{15}{91}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел $m$ и $n,$ для которых $m\le n$ и $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} .$

Решение:

а) Пример подобрать легко, поскольку $\frac{1}{10}=\frac{10}{100},\ \frac{1}{5}=\frac{20}{100},\ \frac{1}{20}=\frac{5}{100},\ \frac{1}{25}=\frac{4}{100}\dots$

Возьмем $\frac{25}{100}+\frac{5}{100}+\frac{4}{100}-\frac{1}{100}=\frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{3}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}.$

б) Пример: $\ \ \frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};$

Как подобран пример?

Заметим, что $91\ =\ 13\cdot 7;$

$\frac{1}{7}=\frac{13}{91}; \frac{1}{13}=\frac{7}{91}$ (их сумма больше, чем $\frac{15}{91}).$

Сложив $\frac{13}{91}$ и $\frac{1}{91}$ , получим $\frac{14}{91}.$

Как «собрать» $\frac{1}{91}$ ?

$\frac{1}{91}\ =\ \frac{1}{91}\ \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{182}+\ \frac{1}{273}+\frac{1}{546}.$

в) Найдем все возможные пары (m; n), такие, что $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.$

Условие $m\le n\$ означает, что $\frac{1}{m}\ge \ \frac{1}{n}$ . Если $\frac{1}{m}=\ \frac{1}{n}$ , то $m=n\ =\ 28$ . Значит, $n\ge 28$ .

Приведем левую часть уравнения $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}$ к одному знаменателю.

$\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{14},$
$14m+14n=mn,$

$m\ =\ \frac{14n}{n-14}\ =\frac{14n\ -\ 196\ +\ 196}{n-14}\ =\ \frac{14\ +\ 196}{n-14},$ m - целое.

Это значит, что $n - 14$ — делитель числа 196.

Делители числа 196:

1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.

Выпишем возможные значения для $n - 4,$ а также $n$ и $m,$ учитывая, что $n \geq 28.$

n - 4	n	m
14	28	28
28	42	21
49	63	18
98	112	16
196	210	15

Для каждой из этих пар (m; n) выполняется условие $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.$

Ответ:

а) $\frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}$

б) $\frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};$

в) (28; 28); (21; 42); (18; 63); (16; 112); (15; 210).

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 19, Вариант 6 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 11.03.2023

Задание 19, Вариант 6 — разбор решения задачи

Это полезно