previous arrow
next arrow
Slider

Задание 19, Вариант 6 — разбор решения задачи

а) Представьте число \frac{33}{100} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

б) Представьте число \frac{15}{91} в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.

в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m\le n и \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} .

Решение:

а) Пример подобрать легко, поскольку \frac{1}{10}=\frac{10}{100},\ \frac{1}{5}=\frac{20}{100},\ \frac{1}{20}=\frac{5}{100},\ \frac{1}{25}=\frac{4}{100}\dots

Возьмем \frac{25}{100}+\frac{5}{100}+\frac{4}{100}-\frac{1}{100}=\frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{3}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}.

б) Пример: \ \ \frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};

Как подобран пример?

Заметим, что 91\ =\ 13\cdot 7;

\frac{1}{7}=\frac{13}{91}; \frac{1}{13}=\frac{7}{91} (их сумма больше, чем \frac{15}{91}).

Сложив \frac{13}{91} и \frac{1}{91}, получим \frac{14}{91}.

Как «собрать» \frac{1}{91}?

\frac{1}{91}\ =\ \frac{1}{91}\ \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{1}{182}+\ \frac{1}{273}+\frac{1}{546}.

в) Найдем все возможные пары (m; n), такие, что \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.

Условие m\le n\ означает, что \frac{1}{m}\ge \ \frac{1}{n}. Если \frac{1}{m}=\ \frac{1}{n}, то m=n\ =\ 28. Значит, n\ge 28.

Приведем левую часть уравнения \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14} к одному знаменателю.

\frac{m+n}{mn}=\frac{1}{14},
14m+14n=mn,

m\ =\ \frac{14n}{n-14}\ =\frac{14n\ -\ 196\ +\ 196}{n-14}\ =\ \frac{14\ +\ 196}{n-14}, m - целое.

Это значит, что n - 14 — делитель числа 196.

Делители числа 196:

1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.

Выпишем возможные значения для n - 4, а также n и m, учитывая, что n \geq 28.

n - 4 n m
14 28 28
28 42 21
49 63 18
98 112 16
196 210 15

Для каждой из этих пар (m; n) выполняется условие \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{14}.

Ответ:

а) \frac{33}{100}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}+\frac{1}{100}+\frac{1}{50}

б) \frac{15}{91}=\frac{1}{7}+\frac{1}{91}+\frac{1}{182}+\frac{1}{273}+\frac{1}{546};

в) (28; 28); (21; 42); (18; 63); (16; 112); (15; 210).

Смотреть все задачи варианта