а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([ \frac{7\pi }{2}; 5 \pi].\)
Решение:
а) Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительно.
Получим систему:
\(\frac{9^{sin2x}-3^{2\sqrt{2}sinx}}{\sqrt{2sinx}} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9^{sin2x}=3^{2\sqrt{2}sinx} \\ sinx\neq0 \hfill \\ sinx\geq 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin2x=\sqrt{2}sinx\\ sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2sinxcosx-\sqrt{2}sinx=0\\sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\left ( 2cosx-\sqrt{2}\right ) =0\\ sinx\textgreater0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
Мы отобрали корни, удовлетворяющие условию 
, с помощью тригонометрического круга.
б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{7\pi }{2}; 5\pi ].\)
Отметим на тригонометрическом круге отрезок \( \left[\frac{{\rm 7}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ 5}\pi \right]{\rm \ }\) и серию решений \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \ n\in Z.\)
Видим, что указанному отрезку принадлежит только точка \(x=4\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{17 \pi}{4}\)
Ответ: а) \(x{\rm =}\frac{\pi}{{\rm 4}}{\rm +2}\pi n,\ \ n\in z\)
б) \(\frac{17\ \pi}{{\rm 4}}\)
