previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 1 — разбор решения задачи

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ \frac{7\pi }{2}; 5 \pi].

Решение:

а) Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительно.

Получим систему:

\frac{9^{sin2x}-3^{2\sqrt{2}sinx}}{\sqrt{2sinx}}  \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix}9^{sin2x}=3^{2\sqrt{2}sinx} \\ sinx\neq0 \hfill \\ sinx\geq 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin2x=\sqrt{2}sinx\\ sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2sinxcosx-\sqrt{2}sinx=0\\sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\left ( 2cosx-\sqrt{2}\right ) =0\\ sinx\textgreater0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

Мы отобрали корни, удовлетворяющие условию , с помощью тригонометрического круга.

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{7\pi }{2}; 5\pi ].

Отметим на тригонометрическом круге отрезок \left[\frac{{\rm 7}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ 5}\pi \right]{\rm \ } и серию решений x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \ n\in Z.

Видим, что указанному отрезку принадлежит только точка x=4\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{17 \pi}{4}

Ответ: а) x{\rm =}\frac{\pi}{{\rm 4}}{\rm +2}\pi n,\ \ n\in z

б) \frac{17\ \pi}{{\rm 4}}

Смотреть все задачи варианта