Задание 13, Вариант 1 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \frac{7\pi }{2}; 5 \pi].$

Решение:

а) Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительно.

Получим систему:

$\frac{9^{sin2x}-3^{2\sqrt{2}sinx}}{\sqrt{2sinx}} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9^{sin2x}=3^{2\sqrt{2}sinx} \\ sinx\neq0 \hfill \\ sinx\geq 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin2x=\sqrt{2}sinx\\ sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2sinxcosx-\sqrt{2}sinx=0\\sinx \textgreater 0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\left ( 2cosx-\sqrt{2}\right ) =0\\ sinx\textgreater0 \hfill \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

Мы отобрали корни, удовлетворяющие условию , с помощью тригонометрического круга.

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7\pi }{2}; 5\pi ].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\left[\frac{{\rm 7}\pi }{{\rm 2}};{\rm \ 5}\pi \right]{\rm \ }$ и серию решений $x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \ n\in Z.$