Авторская задача.
а) Решите уравнение \({sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-{cos \left(3\pi-2x\right)\ }=\ }0\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right].\)
Решение:
\(sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-cos\left(3 \pi-2x\right)=0\)
а) Упростим левую часть уравнения по формулами приведения. Получим:
\(cosx+cos2x=0\)
По формуле косинуса двойного угла, \(cos2x={2cos}^2x-1\)
\({2cos}^2x+cosx-1=0\)
Сделаем замену: \(cosx=t,\ \left|t\right|\le 1;\)
Корни этого уравнения: \(t = -1\) или \(t_2=\frac{1}{2}.\)
Получим:
Следовательно, 
Это ответ в пункте (а).
б) найдём корни на отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] \)
Заметим, что указанный отрезок больше, чем полный круг. Что делать?
Можно найти корни на отрезке с помощью двойного неравенства. В следующем варианте вы увидите и этот метод. А можно нарисовать два круга и найденные в пункте (а) серии решений.
На рисунке слева показан отрезок \(\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]\). Видим, что этому отрезку принадлежат корни \(-3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.\)
На рисунке справа — отрезок \(\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right]\). На нем находится только корень \(x=-\pi.\)
Получим, что отрезку \(\left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right]\\) принадлежат корни: \(-3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.\)
Ответ: а) \(\left[ \begin{array}{c} x=\pi+2\pi n,\ n\in Z \\ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n. \end{array} \right.\)
б) \(-3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.\)
