Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 450 рублей, а стоимость одного номера журнала — 24 рубля. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал?
2. На рисунке показан график движения автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах). Найдите среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.
3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на \(\frac{\sqrt{5}}{2}.\)
4. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.
5. Решите уравнение \(\frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
6. В треугольнике ABC AC = BC, AH — высота, AB = 8, cosBAC = 0,5. Найдите BH.
7. На рисунке изображён график дифференцируемой функции \(y=f\left(x\right)\), определённой на интервале (-10; 3). Найдите количество решений уравнения \(f'(x) = 0\) на отрезке [-7,5; -2,5].
8. Найдите объем шара, вписанного в конус объемом 36, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.
9. Найдите значение выражения \({log}_{0,2}10-{log}_{0,2}2.\)
10. Водолазный колокол, содержащий \(v=5\) моля воздуха при давлении \(p_1=1,75\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2.\) Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=avT{log}_2\frac{p_2}{p_1},\) где \(a\) = 9,7 — постоянная, T = 300, К — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж.
11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
12. Найдите наибольшее значение функции \(y=20{sin x\ }-23x+24 \) на отрезке \(\left[0;\ \frac{\pi}{2}\right]. \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
13. Авторская задача.
а) Решите уравнение \({sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-{cos \left(3\pi-2x\right)\ }=\ }0\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right].\)
14. Точка M — середина ребра \(B_1C_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1.\) Прямые \(A_1B\) и \(B_1C\) перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник \(BMA_1\) равнобедренный.
б) Найдите объем призмы, если расстояние между прямыми \(BA_1\) и \(CB_1\) равно 2.
15. Авторская задача
Решите неравенство:
\(\sqrt{7+{\sqrt{2}}^x}\ge 7-2^{\frac{x}{2}+1}\)
16. Авторская задача. Окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. На отрезке АВ взята точка N так, что NK — общая внутренняя касательная к обеим окружностям.
а) Докажите, что углы \(O_1{NO}_2\) и АКВ равны.
б) Пусть Е — точка пересечения АК и \(O_1N\), F — точка пересечения ВК и \(O_2N\), радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите EF.
17. В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего года,
- с февраля по июнь ежегодно необходимо выплатить по 250000 рублей,
- в 2024 и 2025 годах дополнительно производятся выплаты по S рублей,
- к июлю 2025 года долг будет выплачен полностью.
Найдите S.
18. Авторская задача Найдите все значения параметра \(a\), для каждого из которых область значений функции
\(y=2^{2x^2-4x}-a\cdot 2^{x^2-2x+1}-a^2\)
содержит число 0.
19. Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.
а) Может ли в наборе быть 13 чисел?
б) Может ли в наборе быть 14 чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?
