Задание 16, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. На отрезке АВ взята точка N так, что NK — общая внутренняя касательная к обеим окружностям.

а) Докажите, что углы $O_1{NO}_2$ и АКВ равны.

б) Пусть Е — точка пересечения АК и $O_1N$ , F — точка пересечения ВК и $O_2N$ , радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите EF.

Решение:

а) Докажем, что $\angle O_1NO_2=\angle AKB.$

Заметим, что AN=NK=NB как отрезки касательных, проведённых из точки N.

Покажем, что $\angle AKB=90{}^\circ .$

Точки А, К и В равноудалены от точки N. Следовательно, они лежат на окружности с центром в точке N, причем АВ — диаметр этой окружности. Тогда $\angle AKB=90^{\circ}$ как опирающийся на диаметр.

б) Найдём EF.

$\vartriangle ANK$ — равнобедренный, NK=NA.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому NE — биссектриса и высота $\vartriangle ANK,\ \ \angle NEK=90^{\circ}.$

Аналогично, $\angle NFK=90^{\circ}$ , значит, NEKF — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому EF=NK.

$EF=NK=\frac{1}{2}AB,\ \ \ AB=\sqrt{{\left(R+2\right)}^2-{\left(R-2\right)}^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr};$

$EF=\ NK=\frac{2\sqrt{Rr}}{2}=\sqrt{Rr}=\ 4.$

Ответ: б ) 4

Смотреть все задачи варианта

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16, Вариант 2 u0026#8212; разбор решения задачи» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.09.2023

Задание 16, Вариант 2 — разбор решения задачи

Это полезно