previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16, Вариант 2 — разбор решения задачи

Авторская задача. Окружности с центрами O_1 и O_2 касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. На отрезке АВ взята точка N так, что NK — общая внутренняя касательная к обеим окружностям.

а) Докажите, что углы O_1{NO}_2 и АКВ равны.

б) Пусть Е — точка пересечения АК и O_1N, F — точка пересечения ВК и O_2N, радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите EF.

Решение:

а) Докажем, что  \angle O_1NO_2=\angle AKB.

Заметим, что AN=NK=NB как отрезки касательных, проведённых из точки N.

Покажем, что \angle AKB=90{}^\circ .

Точки А, К и В равноудалены от точки N. Следовательно, они лежат на окружности с центром в точке N, причем АВ — диаметр этой окружности. Тогда \angle AKB=90^{\circ} как опирающийся на диаметр.

б) Найдём EF.

\vartriangle ANK — равнобедренный, NK=NA.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому NE — биссектриса и высота \vartriangle ANK,\ \ \angle NEK=90^{\circ}.

Аналогично, \angle NFK=90^{\circ}, значит, NEKF — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому EF=NK.

EF=NK=\frac{1}{2}AB,\ \ \ AB=\sqrt{{\left(R+2\right)}^2-{\left(R-2\right)}^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr};

EF=\ NK=\frac{2\sqrt{Rr}}{2}=\sqrt{Rr}=\ 4.

Ответ: б ) 4

Смотреть все задачи варианта