Задание 17, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего года,

- с февраля по июнь ежегодно необходимо выплатить по 250000 рублей,

- в 2024 и 2025 годах дополнительно производятся выплаты по S рублей,

- к июлю 2025 года долг будет выплачен полностью.

Найдите S.

Решение:

Анализируем условие. Дана информация о выплатах. Значит, это задача на первую схему погашения кредита (аннуитет).

Пусть Z=880 тыс. руб. — сумма кредита,

X=250 тыс. руб. — величина ежегодного платежа с 2020 по 2023 годы.

В 2024 и 2025 годах выплаты равны X+S.

Пусть банк начисляет p = 20 процентов годовых. Это значит, что после начисления процентов сумма долга увеличивается в $1+\frac{p}{100}=k=\frac{6}{5}$ раз.

После первого начисления процентов и первой выплаты сумма долга равна $Z\cdot k-X.$

Составим схему погашения кредита: $\left(\left(\left(((Z\cdot k-X\right)\cdot k-X\right)\cdot k-X\right)\cdot k-X)\cdot k-(X+S))\cdot k-(X+S)=0$

Раскрыв скобки, получим:

${Zk}^6-X\left(k^5+k^4+k^2+k\right)-\left(X+S\right)\left(k+1\right)=0$

${Zk}^6-{Xk}^2\left(k+1\right)\left(k^2+1\right)=\left(X+S\right)\left(k+1\right)$

$X+S=\frac{Z\cdot k^6-{Xk}^2\left(k^2+1\right)\left(k+1\right)}{k+1}$

$S=\frac{Z\cdot k^6-{Xk}^2\left(k^2+1\right)\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{X\left(k+1\right)}{k+1}=$

$= \frac{880\cdot 6^6\cdot 5}{5^6\cdot 11}-250\left(\frac{6^2\cdot 61}{5^2\cdot 25}\right)+1.$

Дальше — аккуратные вычисления.

$S=\frac{880\cdot 6^6\cdot 5}{5^6\cdot 11}-250\left(\frac{61\cdot 6^2}{5^2\cdot 25}+1\right)=$

$=\frac{80\cdot 6^6}{5^5}-250\left(\frac{61\cdot 36+625}{625}\right)=$

$=\frac{16\cdot 6^6}{5^4}-250\left(\frac{61\cdot 36}{625}+1\right)=\frac{16\cdot 6^6}{5^4}-\frac{61\cdot 36\cdot 250}{5^4}-250=$

$\frac{36\left(16\cdot 6^4-61\cdot 250\right)}{5^4}-250=\frac{36}{625}\cdot \left(20736-15250\right)-250=$

$= \frac{36\cdot 5486}{625}-250=65993,6$ руб.

Ответ: 65993,6 руб.

Смотреть все задачи варианта

Задание 17, Вариант 2 — разбор решения задачи

Это полезно