В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего года,
- с февраля по июнь ежегодно необходимо выплатить по 250000 рублей,
- в 2024 и 2025 годах дополнительно производятся выплаты по S рублей,
- к июлю 2025 года долг будет выплачен полностью.
Найдите S.
Решение:
Анализируем условие. Дана информация о выплатах. Значит, это задача на первую схему погашения кредита (аннуитет).
Пусть Z=880 тыс. руб. — сумма кредита,
X=250 тыс. руб. — величина ежегодного платежа с 2020 по 2023 годы.
В 2024 и 2025 годах выплаты равны X+S.
Пусть банк начисляет p = 20 процентов годовых. Это значит, что после начисления процентов сумма долга увеличивается в \(1+\frac{p}{100}=k=\frac{6}{5}\) раз.
После первого начисления процентов и первой выплаты сумма долга равна \(Z\cdot k-X.\)
Составим схему погашения кредита: \(\left(\left(\left(((Z\cdot k-X\right)\cdot k-X\right)\cdot k-X\right)\cdot k-X)\cdot k-(X+S))\cdot k-(X+S)=0\)
Раскрыв скобки, получим:
\({Zk}^6-X\left(k^5+k^4+k^2+k\right)-\left(X+S\right)\left(k+1\right)=0\)
\({Zk}^6-{Xk}^2\left(k+1\right)\left(k^2+1\right)=\left(X+S\right)\left(k+1\right)\)
\(X+S=\frac{Z\cdot k^6-{Xk}^2\left(k^2+1\right)\left(k+1\right)}{k+1}\)
\(S=\frac{Z\cdot k^6-{Xk}^2\left(k^2+1\right)\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{X\left(k+1\right)}{k+1}=\)
\(= \frac{880\cdot 6^6\cdot 5}{5^6\cdot 11}-250\left(\frac{6^2\cdot 61}{5^2\cdot 25}\right)+1.\)
Дальше — аккуратные вычисления.
\(S=\frac{880\cdot 6^6\cdot 5}{5^6\cdot 11}-250\left(\frac{61\cdot 6^2}{5^2\cdot 25}+1\right)=\)
\(=\frac{80\cdot 6^6}{5^5}-250\left(\frac{61\cdot 36+625}{625}\right)=\)
\(=\frac{16\cdot 6^6}{5^4}-250\left(\frac{61\cdot 36}{625}+1\right)=\frac{16\cdot 6^6}{5^4}-\frac{61\cdot 36\cdot 250}{5^4}-250=\)
\(\frac{36\left(16\cdot 6^4-61\cdot 250\right)}{5^4}-250=\frac{36}{625}\cdot \left(20736-15250\right)-250=\)
\(= \frac{36\cdot 5486}{625}-250=65993,6\) руб.
Ответ: 65993,6 руб.
