previous arrow
next arrow
Slider

Задание 13, Вариант 2 — разбор решения задачи

Авторская задача.

а) Решите уравнение {sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-{cos \left(3\pi-2x\right)\ }=\ }0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right].

Решение:

sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-cos\left(3 \pi-2x\right)=0

а) Упростим левую часть уравнения по формулами приведения. Получим:

cosx+cos2x=0

По формуле косинуса двойного угла, cos2x={2cos}^2x-1

{2cos}^2x+cosx-1=0

Сделаем замену: cosx=t,\ \left|t\right|\le 1;

Корни этого уравнения: t = -1 или t_2=\frac{1}{2}.

Получим:

Следовательно, 

Это ответ в пункте (а).

б) найдём корни на отрезке \left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]

Заметим, что указанный отрезок больше, чем полный круг. Что делать?

Можно найти корни на отрезке с помощью двойного неравенства. В следующем варианте вы увидите и этот метод. А можно нарисовать два круга и найденные в пункте (а) серии решений.

На рисунке слева показан отрезок \left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]. Видим, что этому отрезку принадлежат корни -3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.

На рисунке справа — отрезок \left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right]. На нем находится только корень x=-\pi.

Получим, что отрезку \left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right]\ принадлежат корни: -3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.

Ответ: а) \left[ \begin{array}{c} x=\pi+2\pi n,\ n\in Z \\ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n. \end{array} \right.

б) -3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.

Смотреть все задачи варианта