Задание 13, Вариант 2 - решение задач для подготовки е ЕГЭ по Математике(маттренинг)

Авторская задача.

а) Решите уравнение ${sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-{cos \left(3\pi-2x\right)\ }=\ }0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2}\ ;\ -\frac{\pi}{2}\right].$

Решение:

$sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-cos\left(3 \pi-2x\right)=0$

а) Упростим левую часть уравнения по формулами приведения. Получим:

$cosx+cos2x=0$

По формуле косинуса двойного угла, $cos2x={2cos}^2x-1$

${2cos}^2x+cosx-1=0$

Сделаем замену: $cosx=t,\ \left|t\right|\le 1;$

Корни этого уравнения: $t = -1$ или $t_2=\frac{1}{2}.$

Получим:

Следовательно,

Это ответ в пункте (а).

б) найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$

Заметим, что указанный отрезок больше, чем полный круг. Что делать?

Можно найти корни на отрезке с помощью двойного неравенства. В следующем варианте вы увидите и этот метод. А можно нарисовать два круга и найденные в пункте (а) серии решений.

На рисунке слева показан отрезок $\left[-\frac{7\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$ . Видим, что этому отрезку принадлежат корни $-3\pi;\ -\pi;\ -\frac{7\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{3}.$